编辑距离(LD)计算两个字符串相似度

【定义】设A和B是两个字符串。将字符串A转换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到字符串B的编辑距离。（ 这里所说的字符操作包括：删除一个字符，插入一个字符，修改一个字符）

求编辑距离和两个字符串相似度

算法的原理就不做赘述了，记录一下从拿到两个字符串到计算出两个字符串相似度的计算过程。

首先，会有两个字符串这里举例

A串为：GAATTCAGTTA

B串为：GGATCGA

LD具有下列性质：

LD(A,A)=0

LD(A,"")=Len(A)

LD(A,B)=LD(B,A)

0≤LD(A,B)≤Max(Len(A),Len(B))

LD(A,B)=LD(Rev(A),Rev(B))

LD(A+C,B+C)=LD(A,B)

LD(A+B,A+C)=LD(B,C)

LD(A,B)≤LD(A,C)+LD(B,C)

LD(A+C,B)≤LD(A,B)+LD(B,C)

有了这些，然后我们来说一些定义：

A=a₁a₂……a_N，表示A是由a₁a₂……a_N这N个字符组成，Len(A)=N

B=b₁b₂……b_M，表示B是由b₁b₂……b_M这M个字符组成，Len(B)=M

LD(i,j)=LD(a₁a₂……a_i,b₁b₂……b_j),其中0≤i≤N，0≤j≤M

有了这些，不难得到,LD(N,M)=LD(A,B),,,LD(0,0)=0,,,LD(0,j)=j,,,LD(i,0)=i

对于1≤j≤M,1≤i≤N，有如下公式

若a_i=b_j，则LD(i,j)=LD(i-1,j-1)   取矩阵对角的值

　若a_i≠b_j，则LD(i,j)=Min(LD(i-1,j-1),LD(i-1,j),LD(i,j-1))+1   在对角，左边，上边，取最小值+1

然后构建一个矩阵，短字符串在矩阵的左侧，长字符串在矩阵的上方。

第一步：

矩阵初始化完成时这样。

LD算法矩阵图  GAATTCAGTTA 01234567891011G1           G2           A3           T4           C5           G6           A7           

第二步：

按照上述公式填满表格

LD算法矩阵图  GAATTCAGTTA 01234567891011G1012345678910G211234566789A321123456788T432212345678C543322234567G654433333456A765444434455

到现在就得到了编辑距离，就是矩阵的最右下角的那个数字，本例中是5.

然后来计算两个字符串的相似度：A和B的相似度=1-（5/11）.其中11代表的是两个字符串中较长的那个字符串的长度。

结果越接近越1，说明两个字符串相似度越高。

回溯

现在我们来关注关注表格中的红色数字。

矩阵中的红色数字是怎么确定的呢？

首先从最右下角开始，如果a_i=b_{j，回溯到左上角的单元格，如果ai≠bj，则回溯到左上角、上方和左边中最小的单元格，如果最小}

_{的单元格不唯一，那么优先级的顺序为：左上角、上边、左边。这样就可以得到回溯的结果，也就是图中的红色数字。}

_{接下来就是按照回溯的路径，写出匹配字符串。}

若回溯到左上角单元格，将a_i添加到匹配字串A，将b_j添加到匹配字串B

　　　　若回溯到上边单元格，将a_i添加到匹配字串A，将_添加到匹配字串B

　　　　若回溯到左边单元格，将_添加到匹配字串A，将b_j添加到匹配字串B

　　　　搜索晚整个匹配路径，匹配字串也就完成了

B=GGA-TC-G--A
A=GAATTCAGTTA

_{注意，ai 是会对A串来说的，bj 是会对B串来说的，最后的结果是倒序，需要恢复一下。}