HDU 2516 取石子游戏（斐波那契博弈）

取石子游戏

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Problem Description

1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".

 

Input

输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.

 

Output

先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win". 
参看Sample Output.

 

Sample Input

213100000

 

Sample Output

Second winSecond winFirst win

 

思路：

这是一道Fibonacci’s Game（斐波那契博弈）
斐波那契博弈模型，大致上是这样的：
有一堆个数为 n 的石子，游戏双方轮流取石子，满足：
1. 先手不能在第一次把所有的石子取完；
2. 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。
约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

 

（转）分析：      
 n = 2时输出second；     
 n = 3时也是输出second； 
 n = 4时，第一个人想获胜就必须先拿1个，这时剩余的石子数为3，此时无论第二个人如何取，第一个人都能赢，输出first； 
 n = 5时，first不可能获胜，因为他取2时，second直接取掉剩下的3个就会获胜，当他取1时，这样就变成了n为4的情形，所以输出的是second；   
 n = 6时，first只要去掉1个，就可以让局势变成n为5的情形，所以输出的是first；      
 n = 7时，first取掉2个，局势变成n为5的情形，故first赢，所以输出的是first；     
 n = 8时，当first取1的时候，局势变为7的情形，第二个人可赢，first取2的时候，局势变成n为6得到情形，也是第二个人赢，取3的时候，second直接取掉剩下的5个，所以n = 8时，输出的是second；    
 …………      
 从上面的分析可以看出，n为2、3、5、8时，这些都是输出second，即必败点，仔细的人会发现这些满足斐波那契数的规律，可以推断13也是一个必败点。     
 借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。n=12时，只要谁能使石子剩下8且此次取子没超过3就能获胜。因此可以把12看成8+4，把8看成一个站，等价与对4进行"气喘操作"。又如13，13=8+5，5本来就是必败态，得出13也是必败态。也就是说，只要是斐波那契数，都是必败点。
所以我们可以利用斐波那契数的公式：fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]，只要n是斐波那契数就输出second。

#include<iostream>using namespace std;int main(){       int n,fib[45];     int i,flag;    fib[0]=2;    fib[1]=3;    for(i=2;i<45;i++)          fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];      while(cin>>n&&n)    {                   flag=0;        for(i=0;i<45;i++)               if(fib[i]==n)                 {                           cout<<"Second win\n";                flag=1;                break;            }              if(flag==0)                    cout<<"First win\n";       }       return 0;}