导数 学习笔记

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导数相关的知识在高中数学课本人教A版的选修2-2，看后稍微总结，方便以后复习，新学建议看书从头学。

通式

首先，导数是用来求函数变化率的工具，是微积分的核心工具，求导数的通式：

f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx

举例

一般只要f(x)方便展开，带入求解就可以解出来。
比如说，解二次函数的导数，已知二次函数：f(x)=ax2+bx+c
对此函数带入求导数就可以得到：

f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0a(x0+Δx)2+b(x0+Δx)+c−(ax20+bx0+c)Δx

f′(x0)=limΔx→0a(x0+Δx)2+b(x0+Δx)+c−(ax20+bx0+c)Δx=limΔx→02ax0Δx+aΔx2+bΔxΔx

f′(x0)=limΔx→02ax0+aΔx+b=2ax0+b

注：x趋向于0就是让x=0，然后求解。

常用公式

记下8个常用的导数公式：

1.f(x)=c  ⇒  f′(x)=0

2.f(x)=xa  ⇒  f′(x)=axa−1

3.f(x)=sinx  ⇒  f′(x)=cosx

4.f(x)=cosx  ⇒  f′(x)=−sinx

5.f(x)=ax  ⇒  f′(x)=axlna

6.f(x)=ex  ⇒  f′(x)=ex

7.f(x)=logax  ⇒  f′(x)=1xlnx

8.f(x)=lnx  ⇒  f′(x)=1x

注：感觉第二个最常用，三次函数求单调性常用。

运算法则

导数的运算法则：

1.[f(x)±g(x)]′=f(x)′±g(x)′

2.[f(x)g(x)]′=f(x)′g(x)+f(x)g(x)′

3.[f(x)g(x)]′=f(x)′g(x)−f(x)g(x)′[g(x)]2

以上式子可以得出：[cf(x)]′=cf(x)′

复合函数

对于复合函数y=f(g(x))，如果设u=g(x)，则y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为：y′x=y′u⋅u′x

即：y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。

例如，对y=ln(x+2)求导，则：

y′x=y′u⋅u′x=(lnu)′⋅(x+2)′=1u⋅1=1x+2

常用函数的导数

二次函数

f(x)=ax2+bx+c  ⇒  f(x)′=2ax+b

三次函数

f(x)=ax3+bx2+cx+d  ⇒  f(x)′=3ax2+2bx+c

函数的单点性与导数

一般的，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a,b)内，如果f′(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。

函数的极值与导数

一般的，求函数y=f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)=0，当f′(x0)=0时：
（1）如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
（2）如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值；

函数的最大（小）值与导数

一般的，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；
（2）将函数y=f(x)的极值与断点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。