矩阵

定义矩阵乘法：C=AB

如果A是m∗n矩阵，B是n∗p矩阵，那么C是一个m∗p矩阵。

其中Cik=∑nk=1AijBjk，如：

[142536]⎡⎣⎢135246⎤⎦⎥=[1+6+154+15+302+8+188+20+36]=[22492864]

矩阵乘法满足结合律，不满足交换律。

单位矩阵In：

In=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

矩阵乘法及快速幂：

struct Matrix{    int m[M][M];    Matrix(){        memset(m,0,sizeof(m));    }    void Init(){//初始化单位矩阵         for(int i=1;i<=n;i++)            m[i][i]=1;    }    Matrix operator *(const Matrix &a)const{        Matrix res;        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<=n;j++){                if(!m[i][j])continue;                for(int k=1;k<=n;k++)                    res.m[i][k]+=m[i][j]*a.m[j][k];            }        return res;    }};Matrix Pow(Matrix x,int t){    Matrix res;    res.Init();    while(t){        if(t&1)res=res*x;        x=x*x;        t>>=1;    }    return res;}

POJ3070 Fibonacci

Task：

求斐波那契数列第n位取模P的值。（P=10000，n<=1000000000）

Solution：
首先直接循环是O(n)的。

考虑矩阵快速幂：

[f[n]f[n−1]]=[1110][f[n−1]f[n−2]]

[f[n]f[n−1]]=[1110]n−1[f[1]f[0]]=[1110]n−1[10]设为An−1B

于是将这个矩阵A快速幂，就可以在O(logn)时间内解决这道题了。

#include<stdio.h>#include<string.h>#define M 5#define P 10000const int n=2;struct Matrix{    int m[M][M];    Matrix(){        memset(m,0,sizeof(m));    }    void Init(){//初始化单位矩阵         for(int i=1;i<=n;i++)            m[i][i]=1;    }    Matrix operator *(const Matrix &a)const{        Matrix res;        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<=n;j++){                if(!m[i][j])continue;                for(int k=1;k<=n;k++)                    res.m[i][k]=(res.m[i][k]+m[i][j]*a.m[j][k])%P;            }        return res;    }};Matrix Pow(Matrix x,int t){    Matrix res;    res.Init();    while(t){        if(t&1)res=res*x;        x=x*x;        t>>=1;    }    return res;}int main(){    Matrix B;    B.m[1][1]=1;B.m[2][1]=0;    while(1){        int d;        scanf("%d",&d);        if(d==-1)break;        if(!d){            puts("0");            continue;        }        Matrix A;        A.m[1][1]=A.m[1][2]=A.m[2][1]=1;A.m[2][2]=0;        A=Pow(A,d-1);        A=A*B;        printf("%d\n",A.m[1][1]);    }    return 0;}