求解偏微分方程开源有限元软件deal.II学习--Step 8

来源：互联网发布：科幻片知乎编辑：程序博客网时间：2024/06/07 02:52

求解偏微分方程开源有限元软件deal.II学习--Step 8

Posted on 2016-09-06 | Incomputational material science | 4条评论

引子

真实生活中，大多数的偏微分方程都是一组方程，相应地，解也通常是矢量场。跟之前单方程的求解以及解是标量场相比，这种问题只是在组装矩阵和右端项时有些复杂，其他都一样。
本例中求解的是弹性问题：

- \partial j (c i j k l \partial k u l) = f i, i = 1 \dots d

其中，cijkl是刚度系数，通常与空间坐标相关。
弹性方程是Laplace方程的一种扩散形式，其解ul是矢量场，表示一个刚体在力的作用下的位移。力fi也是矢量场。
cijkl是一个四阶张量，共有34=81个分量，但其实只有21个分量是独立的，这是因为：
首先因为σij和ϵij都是对称张量，导致cijkl=cjikl和cijkl=cijlk，这样就将独立的弹性常数减少到(3∗2∗1)2=36个。
然后因为应变能密度函数与应力应变的关系，导致cijkl=cklij，这样代表沿对角线对称，这样将弹性常数减少到21个。
这样三维情形下应力应变关系矩阵形式为：

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 23 σ 31 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ c 1111 c 1122 c 2222 c 1133 c 2233 c 3333 c 1112 c 2212 c 3312 c 1212 c 1123 c 2223 c 3323 c 1223 c 2323 c 1131 c 2231 c 3331 c 1231 c 2331 c 3331 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ϵ 11 ϵ 22 ϵ 33 2 ϵ 12 2 ϵ 23 2 ϵ 31 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

在各向同性材料中，通过引入两个系数，系数张量变成(可以通过理论证明，各向同性的均匀弹性体的弹性常数只有两个)：

c i j k l = λ δ i j δ k l + μ (δ i k δ j l + δ i l δ j k) .

比如，当i=j=k=l=1时：

c 1111 = λ + 2 μ

当i=j=k=1,l=2时，

c 1112 = 0

当i=k=1,j=l=2时，

c 1212 = μ

当i=j=1,k=l=2时，

c 1122 = λ

这就是各向同性材料的应力应变关系矩阵：

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ λ + 2 μ λ λ + 2 μ λ λ λ + 2 μ 000 μ 0000 μ 00000 μ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

回到力与位移的系数矩阵，按各个字母的序号循环可得：

它的系数矩阵是一个2∗2的矩阵，其中各个元素可由上图得到。
对于各向同性材料，代入上面的取值后，有：

- \nabla λ (\nabla \cdot u) - (\nabla \cdot μ \nabla) u - \nabla \cdot μ (\nabla u) T = f,

其展开就是如图：

注意各种标量、矢量和张量的梯度和散度运算。
其弱形式为：

下面就是怎样组装这个线性系统。第一件事情就是需要知道在矢量值的有限元中形函数是怎样工作的。大体过程这样：设n

为要建立的矢量单元的分量，即标量单元，的形函数的个数，比如之前用的双线性单元，二维情形下n=4。设N是矢量单元的形函数的个数，二维情形下，N=2n，那么矢量单元的第i个形函数的形式为：

Φ i (x) = φ base (i) (x) e comp (i),

其中，comp(i)是告诉我们Φi的哪个分量非0(对每一个矢量形函数，只有一个分量非0，其余分量都为0)，比如comp(1)=0表示第1个矢量形函数的第0个分量非0。φbase(i)(x)描述形函数与坐标的关系，就是标量单元的第base(i)个形函数，比如具体形式是这样的：

Φ 0 (x) Φ 1 (x) Φ 2 (x) Φ 3 (x) = [φ 0 (x) 0], = [0 φ 0 (x)], = [φ 1 (x) 0], = [0 φ 1 (x)], \dots

其中：

comp (0) = 0, comp (1) = 1, comp (2) = 0, comp (3) = 1, \dots base (0) = 0, base (1) = 0, base (2) = 1, base (3) = 1, \dots

在绝大多数情况下，不需要知道哪个φbase(i)属于Φi，于是定义：

ϕ i = φ base (i)

所以，矢量形函数表示为：

Φ i (x) = ϕ i (x) e comp (i) .

使用上述矢量形函数，构造出离散有限元解：

u h (x) = \sum i Φ i (x) U i

其中，Ui是系数，是标量。定义一个类似的函数vh作为试探函数，那么问题就变为：找到系数Ui，使得：

a (u h, v h) = (f, v h) \forall v h .

将双线性的具体形式代入，可得：

\sum i, j U i V j \sum k, l [(λ \partial l (Φ i) l, \partial k (Φ j) k) Ω + (μ \partial l (Φ i) k, \partial l (Φ j) k) Ω + (μ \partial l (Φ i) k, \partial k (Φ j) l) Ω] = \sum j V j \sum l (f l, (Φ j) l) Ω .

注意到：下标k和l是对所有空间方向进行循环，0≤k,l<d，而下标i和j是对所有自由度进行循环。
那么，单元K上的单元刚度矩阵就是：

A K i j = \sum k, l [(λ \partial l (Φ i) l, \partial k (Φ j) k) K + (μ \partial l (Φ i) k, \partial l (Φ j) k) K + (μ \partial l (Φ i) k, \partial k (Φ j) l) K]

这里，i和j是局部自由度，有0≤i,j<N。
在这些公式中，我们通常取矢量形函数的部分分量，根据定义，有：

(Φ i) l = ϕ i δ l, comp (i),

那么，进一步简化得到：

A K i j = \sum k, l [(λ \partial l ϕ i δ l, comp (i), \partial k ϕ j δ k, comp (j)) K + (μ \partial l ϕ i δ k, comp (i), \partial l ϕ j δ k, comp (j)) K + (μ \partial l ϕ i δ k, comp (i), \partial k ϕ j δ l, comp (j)) K] = (λ \partial comp (i) ϕ i, \partial comp (j) ϕ j) K + \sum l (μ \partial l ϕ i, \partial l ϕ j) K δ comp (i), comp (j) + (μ \partial comp (j) ϕ i, \partial comp (i) ϕ j) K = (λ \partial comp (i) ϕ i, \partial comp (j) ϕ j) K + (μ \nabla ϕ i, \nabla ϕ j) K δ comp (i), comp (j) + (μ \partial comp (j) ϕ i, \partial comp (i) ϕ j) K .

同样地，单元对右端项的贡献为：

f K j = \sum l (f l, (Φ j) l) K = \sum l (f l, ϕ j δ l, comp (j)) K = (f comp (j), ϕ j) K .

程序解析

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#include <deal.II/base/quadrature_lib.h>#include <deal.II/base/function.h>#include <deal.II/base/logstream.h>#include <deal.II/lac/vector.h>#include <deal.II/lac/full_matrix.h>#include <deal.II/lac/sparse_matrix.h>#include <deal.II/lac/dynamic_sparsity_pattern.h>#include <deal.II/lac/solver_cg.h>#include <deal.II/lac/precondition.h>#include <deal.II/lac/constraint_matrix.h>#include <deal.II/grid/tria.h>#include <deal.II/grid/grid_generator.h>#include <deal.II/grid/grid_refinement.h>#include <deal.II/grid/tria_accessor.h>#include <deal.II/grid/tria_iterator.h>#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>#include <deal.II/dofs/dof_accessor.h>#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>#include <deal.II/fe/fe_values.h>#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>#include <deal.II/numerics/matrix_tools.h>#include <deal.II/numerics/data_out.h>#include <deal.II/numerics/error_estimator.h>

以上是以前用过的头文件。

#include <deal.II/fe/fe_system.h>

该头文件提供对矢量值的有限元的支持。

#include <deal.II/fe/fe_q.h>

从常规的Q1单元组合得到矢量值的有限元，Q1单元在以上头文件中。

#include <fstream>#include <iostream>

C++的标准库。
建立step8的命名空间：

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namespace Step8{    using namespace dealii;template <int dim>    class ElasticProblem    {        public:            ElasticProblem ();            ~ElasticProblem ();            void run ();        private:            void setup_system ();            void assemble_system ();            void solve ();            void refine_grid ();            void output_results (const unsigned int cycle) const;            Triangulation<dim> triangulation;            DoFHandler<dim> dof_handler;            FESystem<dim> fe;            ConstraintMatrix hanging_node_constraints;            SparsityPattern sparsity_pattern;            SparseMatrix<double> system_matrix;            Vector<double> solution;            Vector<double> system_rhs;    };

step8的类跟step6差不多，唯一一个变化是fe的类型，这里使用的是FESystem，不再是FE_Q。实际上FESystem本身不是一个有限元类型，不提供形函数。它就是将多个单元集合起来形成一个矢量的有限单元。
然后建立右端项：

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template <int dim>class RightHandSide : public Function<dim>{    public:        RightHandSide ();        virtual void vector_value (const Point<dim> &p,                Vector<double> &values) const;        virtual void vector_value_list (const std::vector<Point<dim> > &points,                std::vector<Vector<double> > &value_list) const;};

vector_value是取得某个位置的矢量值，vector_value_list是一下取得很多。

template <int dim>RightHandSide<dim>::RightHandSide ()    :        Function<dim> (dim){}

析构函数中给Function传递了参数，代表分量的个数，这里就是dim。

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template <int dim>inlinevoid RightHandSide<dim>::vector_value (const Point<dim> &p,        Vector<double> &values) const{    Assert (values.size() == dim,            ExcDimensionMismatch (values.size(), dim));    Assert (dim >= 2, ExcNotImplemented());

这里加入了几个提前判断，用来保证维数和矢量大小正确。

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Point<dim> point_1, point_2;point_1(0) = 0.5;point_2(0) = -0.5;if (((p-point_1).norm_square() < 0.2*0.2) ||        ((p-point_2).norm_square() < 0.2*0.2))    values(0) = 1;else    values(0) = 0;

如果在离两个圆心一定范围内，就把x方向的力设为1，否则设为0。

if (p.norm_square() < 0.2*0.2)    values(1) = 1;else    values(1) = 0;}

如果离原点一定范围内，就把y方向的力设为1，否则设为0。

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template <int dim>void RightHandSide<dim>::vector_value_list (const std::vector<Point<dim> > &points,        std::vector<Vector<double> > &value_list) const{    Assert (value_list.size() == points.size(),            ExcDimensionMismatch (value_list.size(), points.size()));    const unsigned int n_points = points.size();    for (unsigned int p=0; p<n_points; ++p)        RightHandSide<dim>::vector_value (points[p],                value_list[p]);}

然后就是一下取得好多点上的值。

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template <int dim>ElasticProblem<dim>::ElasticProblem ()    :        dof_handler (triangulation),        fe (FE_Q<dim>(1), dim){}template <int dim>ElasticProblem<dim>::~ElasticProblem (){    dof_handler.clear ();}

这是求解类的构造和析构函数。在构造函数中，给fe传递两个参数：一个是构造矢量有限元所基于的标量有限元，另一个就是多少个标量堆起来等于1个矢量，这里就是dim。知道这些信息后，FESystem就知道该怎么合成矢量有限元了。

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template <int dim>void ElasticProblem<dim>::setup_system (){    dof_handler.distribute_dofs (fe);    hanging_node_constraints.clear ();    DoFTools::make_hanging_node_constraints (dof_handler,            hanging_node_constraints);    hanging_node_constraints.close ();    DynamicSparsityPattern dsp(dof_handler.n_dofs(), dof_handler.n_dofs());    DoFTools::make_sparsity_pattern(dof_handler,            dsp,            hanging_node_constraints,            / *keep_constrained_dofs = * / true);    sparsity_pattern.copy_from (dsp);    system_matrix.reinit (sparsity_pattern);    solution.reinit (dof_handler.n_dofs());    system_rhs.reinit (dof_handler.n_dofs());}

建立系统。过程跟step6相同，这里的这些类都能处理矢量的单元，实际无论矢量还是标量单元，这些类都一视同仁。
重头戏就是组装系统了。

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template <int dim>void ElasticProblem<dim>::assemble_system (){    QGauss<dim> quadrature_formula(2);    FEValues<dim> fe_values (fe, quadrature_formula,            update_values | update_gradients |            update_quadrature_points | update_JxW_values);    const unsigned int dofs_per_cell = fe.dofs_per_cell;    const unsigned int n_q_points = quadrature_formula.size();    FullMatrix<double> cell_matrix (dofs_per_cell, dofs_per_cell);    Vector<double> cell_rhs (dofs_per_cell);    std::vector<types::global_dof_index> local_dof_indices (dofs_per_cell);

第一部分跟之前的相同：设置合适的积分公式、初始化FEValues对象、声明一些附加数组等。其中，获取每个单元上的自由度数，是从合成过的有限单元上取得，而不是那个标量Q1对象。这里，自由度数等于dim乘以Q1单元的每个单元上的自由度数。

std::vector<double> lambda_values (n_q_points);std::vector<double> mu_values (n_q_points);

然后存储所有积分点上两个系数的值。

ConstantFunction<dim> lambda(1.), mu(1.);

这里将两个系数都设为定值。

RightHandSide<dim> right_hand_side;std::vector<Vector<double> > rhs_values (n_q_points,        Vector<double>(dim));

建立右端项的对象。因为是矢量，所以rhs_values的类型也变化了。
然后开始单元循环：

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typename DoFHandler<dim>::active_cell_iterator cell = dof_handler.begin_active(),         endc = dof_handler.end();for (; cell!=endc; ++cell){    cell_matrix = 0;    cell_rhs = 0;    fe_values.reinit (cell);    lambda.value_list (fe_values.get_quadrature_points(), lambda_values);    mu.value_list (fe_values.get_quadrature_points(), mu_values);    right_hand_side.vector_value_list (fe_values.get_quadrature_points(),            rhs_values);

上面计算系数和右端项在积分点上的值。
然后就是计算单元刚度矩阵和右端项：

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for (unsigned int i=0; i<dofs_per_cell; ++i){    const unsigned int        component_i = fe.system_to_component_index(i).first;    for (unsigned int j=0; j<dofs_per_cell; ++j)    {        const unsigned int            component_j = fe.system_to_component_index(j).first;        for (unsigned int q_point=0; q_point<n_q_points;                ++q_point)        {            cell_matrix(i,j)                +=

整个计算过程完全对应前面引子中的推导。component_i就是非0分量的指标，它通过fe.system_to_component_index(i).first这个函数取得，实际上first取得矢量形函数的非0分量的指标，而second取得具体这个形函数的值，即引子中的base。

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( (fe_values.shape_grad(i,q_point)[component_i] *  fe_values.shape_grad(j,q_point)[component_j] *  lambda_values[q_point]) + (fe_values.shape_grad(i,q_point)[component_j] *  fe_values.shape_grad(j,q_point)[component_i] *  mu_values[q_point]) +

这一项计算的是(lambda d_i u_i, d_j v_j) + (mu d_i u_j, d_j v_i)。

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((component_i == component_j) ? (fe_values.shape_grad(i,q_point) *  fe_values.shape_grad(j,q_point) *  mu_values[q_point]) : 0))*fe_values.JxW(q_point);        }    }}

这一项计算的是(mu nabla u_i, nabla v_j)。注意这里的grad没有加后面的方括号，用了重载的乘号。
且使用了条件表达式，判断两个下标是否相同。
单元右端项的计算：

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for (unsigned int i=0; i<dofs_per_cell; ++i){    const unsigned int        component_i = fe.system_to_component_index(i).first;    for (unsigned int q_point=0; q_point<n_q_points; ++q_point)        cell_rhs(i) += fe_values.shape_value(i,q_point) *            rhs_values[q_point](component_i) *            fe_values.JxW(q_point);}

组装：

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cell->get_dof_indices (local_dof_indices);for (unsigned int i=0; i<dofs_per_cell; ++i){    for (unsigned int j=0; j<dofs_per_cell; ++j)        system_matrix.add (local_dof_indices[i],                local_dof_indices[j],                cell_matrix(i,j));    system_rhs(local_dof_indices[i]) += cell_rhs(i);}}hanging_node_constraints.condense (system_matrix);hanging_node_constraints.condense (system_rhs);

施加边界条件：

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std::map<types::global_dof_index,double> boundary_values;VectorTools::interpolate_boundary_values (dof_handler,        0,        ZeroFunction<dim>(dim),        boundary_values);MatrixTools::apply_boundary_values (boundary_values,        system_matrix,        solution,        system_rhs);}

这里做了一些小修改，因为解是矢量的，所以边界条件施加的也应该是矢量的。而ZeroFunction可以接收参数来形成不同类型的量，这里传递的是dim。
求解器：

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template <int dim>void ElasticProblem<dim>::solve (){    SolverControl solver_control (1000, 1e-12);    SolverCG<> cg (solver_control);    PreconditionSSOR<> preconditioner;    preconditioner.initialize(system_matrix, 1.2);    cg.solve (system_matrix, solution, system_rhs,            preconditioner);    hanging_node_constraints.distribute (solution);}

求解过程不变，求解器不管具体问题是什么，只要线性系统是正定且对称的，CG算法就能用。
细化网格：

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template <int dim>void ElasticProblem<dim>::refine_grid (){    Vector<float> estimated_error_per_cell (triangulation.n_active_cells());    KellyErrorEstimator<dim>::estimate (dof_handler,            QGauss<dim-1>(2),            typename FunctionMap<dim>::type(),            solution,            estimated_error_per_cell);    GridRefinement::refine_and_coarsen_fixed_number (triangulation,            estimated_error_per_cell,            0.3, 0.03);    triangulation.execute_coarsening_and_refinement ();}

指示子是用的所有方向上的位移具有相同的权重。
结果输出：

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

template <int dim>void ElasticProblem<dim>::output_results (const unsigned int cycle) const{    std::string filename = "solution-";    filename += ('0' + cycle);    Assert (cycle < 10, ExcInternalError());    filename += ".vtk";    std::ofstream output (filename.c_str());    DataOut<dim> data_out;    data_out.attach_dof_handler (dof_handler);    std::vector<std::string> solution_names;    switch (dim)    {        case 1:            solution_names.push_back ("displacement");            break;        case 2:            solution_names.push_back ("x_displacement");            solution_names.push_back ("y_displacement");            break;        case 3:            solution_names.push_back ("x_displacement");            solution_names.push_back ("y_displacement");            solution_names.push_back ("z_displacement");            break;        default:            Assert (false, ExcNotImplemented());    }    data_out.add_data_vector (solution, solution_names);    data_out.build_patches ();    data_out.write_vtk (output);}

因为结果是矢量，所以给每个分量都有一个名字。
运行函数：

1234567891011121314151617181920212223242526

template <int dim>void ElasticProblem<dim>::run (){    for (unsigned int cycle=0; cycle<8; ++cycle)    {        std::cout << "Cycle " << cycle << ':' << std::endl;        if (cycle == 0)        {            GridGenerator::hyper_cube (triangulation, -1, 1);            triangulation.refine_global (2);        }        else            refine_grid ();        std::cout << " Number of active cells: "            << triangulation.n_active_cells()            << std::endl;        setup_system ();        std::cout << " Number of degrees of freedom: "            << dof_handler.n_dofs()            << std::endl;        assemble_system ();        solve ();        output_results (cycle);    }}}

Attention!!
这里有个小问题，刚开始产生网格后，就全局细化了两次。这是因为这里选择的右端项相当局域化，如果只细化一次，网格的积分点很稀疏，它捕捉的右端项的值全是0，这样就计算错误了。所以，要考虑到网格细化对值的正确捕捉。
Attention完毕！！
main函数如下：

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

int main (){    try    {        Step8::ElasticProblem<2> elastic_problem_2d;        elastic_problem_2d.run ();    }    catch (std::exception &exc)    {        std::cerr << std::endl << std::endl            << "----------------------------------------------------"            << std::endl;        std::cerr << "Exception on processing: " << std::endl            << exc.what() << std::endl            << "Aborting!" << std::endl            << "----------------------------------------------------"            << std::endl;        return 1;    }    catch (...)    {        std::cerr << std::endl << std::endl            << "----------------------------------------------------"            << std::endl;        std::cerr << "Unknown exception!" << std::endl            << "Aborting!" << std::endl            << "----------------------------------------------------"            << std::endl;        return 1;    }    return 0;}

计算结果

x分量为：

y分量为：

注意，虽然这两个分量组合起来是位移，即它们两个不是完全孤立的，比如说是压力和浓度的关系，而是一个量的两个分量，但现在的output方式没法将两者组合起来，即这里还是将两者看成两个孤立的量，真正组合起来显示矢量的例子是step22，到时再说。

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