熵与信息增益

在决策树算法中，决定特征优先级时，需要用到熵的概念，先挖个坑

1 信息量

信息量是用来衡量一个事件的不确定性的；一个事件发生的概率越大，不确定性越小，则它所携带的信息量就越小。

假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为X，概率分布函数为p(x)=Pr(X=x),x∈X，我们定义事件X=x0的信息量为：

I(x0)=−log(p(x0))

当p(x0)=1时，熵将等于0，也就是说该事件的发生不会导致任何信息量的增加。

举个例子，小明考试经常不及格，而小王则经常得满分，所以我们可以做如下假设：
事件A：小明考试及格
概率为

P(xA)=0.1

信息量为

I(xA)=−log(0.1)=3.3219

事件B：小王考试及格
概率为

P(xB)=0.999

信息量为

I(xB)=−log(0.999)=0.0014

可以看出：小明及格的可能性很低(10次考试只有1次及格)，因此如果某次考试及格了（大家都会说：XXX竟然及格了！），必然会引入较大的信息量，对应的I值也较高;而对于小王而言，考试及格是大概率事件，在事件B发生前，大家普遍认为事件B的发生几乎是确定的，因此当某次考试小王及格这个事件发生时并不会引入太多的信息量，相应的I值也非常的低。

这跟《黑天鹅》一书中强调的“黑天鹅事件往往有重大影响”有异曲同工之妙。

2 熵

熵是用来衡量一个系统的混乱程度的，代表一个系统中信息量的总和；信息量总和越大，表明这个系统不确定性就越大。

假设小明的考试结果是一个0-1分布XA只有两个取值{0：不及格，1：及格}。那么在某次考试结果公布前，根据先验知识，小明及格的概率仅有10%,其余90%的可能都是不及格的。

在上面章节，我们可以分别得到小明和小王考试及格对应的信息量。
而如果我们想要进一步度量小明考试结果的不确定度，就要借助于熵的概念。

信息量用来衡量一个事件的不确定度，熵则用来衡量一个系统（也就是所有事件）的不确定度。

那如何度量系统中所有事件的不确定度？期望。

我们对所有可能事件所带来的信息量求期望，其结果就能衡量小明考试的不确定度：

HA(x)=−[p(xA)log(p(xA))+(1−p(xA))log(1−p(xA))]=0.4690

与之对应地，小王的熵：

HB(x)=−[p(xB)log(p(xB))+(1−p(xB))log(1−p(xB))]=0.0114

虽然小明考试结果的不确定度较低，毕竟十次有9次都不及格；但是小王考试结果的不确定度更低，1000次考试只有1次不及格的机会，结果相当的确定。

再假设一个成绩相对普通的学生小东，他及格的概率是P(xC)=0.5,即及格与否的概率是一样的，对应的熵：

HC(x)=−[p(xC)log(p(xC))+(1−p(xC))log(1−p(xC))]=1

小东考试结果的不确定度比前边两位同学要高很多，在成绩公布之前，很难准确猜测出他的考试结果。

从上面可以看出，熵是信息量的期望值，它是一个随机变量的确定性的度量。
熵越大，变量的取值越不确定；反之，熵越小，变量取值就越确定。

对于一个随机变量X，它所有可能取值的信息量的期望E[I(x)]就称为熵。
X的熵定义为：

H(X)=Eplog1p(x)=−∑x∈Xp(x)logp(x)

如果p(x)是连续型随机变量的p(df)，则熵定义为：

H(X)=−∫x∈Xp(x)logp(x)dx

为了保证有效性，这里约定当p(x)→0时,有p(x)logp(x)→0

假如X为0-1分布，当两种取值的可能性相等时（p=0.5），不确定度最大（此时没有任何先验知识）；当p=0或1时，熵为0，即此时X完全确定。
熵与概率p的关系如下图：

注：熵的单位随着公式中log运算的底数而变化，当底数为2时，单位为“比特”(bit)，底数为e时，单位为“奈特”。

3 条件熵

在随机变量X发生的前提下，随机变量Y发生所新带来的熵定义为Y的条件熵，用H(Y|X)表示，用来衡量在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。

如果这样说显得空洞，那么可以进行转换:

H(Y|X)=H(X,Y)–H(X)

上式表示(X,Y)发生所包含的熵减去X单独发生包含的熵。推导如下：

4 信息增益

在决策树ID3算法中，使用信息增益来选择最佳的特征作为决策点。

信息增益表示得知特征X的信息而使得类Y的信息不确定性减少的程度，即用来衡量特征X区分数据集的能力。
当新增一个属性X时，信息熵H(Y)的变化大小即为信息增益。 I(Y|X)越大表示X越重要。

I(Y|X)=H(Y)−H(Y|X)

5 互信息

两个随机变量X，Y的互信息定义为X，Y的联合分布和各自独立分布乘积的相对熵，用I(X,Y)表示：

而一般来说，熵H(Y)与条件熵H(Y|X)之差称为互信息。推导如下：

所以在决策树算法中，信息增益等价于训练数据集中类和特征的互信息。

6 信息增益比

在决策树C4.5算法中，使用信息增益比来选择最佳的特征作为决策点。

特征A对训练数据集D的信息增益比gR(D|A)定义为信息增益I(D|A)与训练数据集D关于特征A的熵HA(D)之比:

gR(D|A)=I(D|A)HA(D)

这之中

HA(D)=−∑i=1n|Di||D|log2|Di||D|,n是特征A的取值个数

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本篇博客主要参考自：
《信息量、熵、最大熵、联合熵、条件熵、相对熵、互信息》
《交叉熵（Cross-Entropy） 》
《最大熵模型中的数学推导》
《我们为什么需要信息增益比，而不是信息增益？ 》

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