菜鸟学习从入门到放弃（一）关于动态规划一些不太成熟的小理解

最近，碰到很多动态规划的题目，看书自学了点相关知识，分享给大家，水平有限，欢迎指正。我只是知识的搬运工，当然其中夹杂一些自己不成熟的理解。

动态规划常用于求解最优化问题。比较典型的有：钢条切割问题、矩阵链乘法、最长公共子序列、字符串的交替链接和子序列数目等问题。下面从概念以及实例两方面解释。

动态规划（英语：Dynamic programming，简称DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题[1]和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。[1]

动态规划与分治方法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题。分治将问题划分为不相交的子问题，递归求解子问题，再将它们的解组合起来，求出原问题的解。与之相反，动态规划应用于子问题重叠的情况，及不同的子问题具有公共的子子问题。[2]

以上概念来自，维基百科和算法导论，从概念上我们就能看出动态规划最重要的两个性质：（1）最优子结构（2）重叠子问题。

最优子结构：问题的最优解由相关子问题的最优解组成，而这些问题可以独立求解。

重叠子问题：问题可以通过反复求解相同的子问题得到最优解。

最优子结构方便定义状态转移得到状态转移方程，重叠子问题指示问题的解决方法。

我们先定义一个问题方便引用分析（算法导论动态规划的第一个实例稍加改动）：钢条长度与价格的关系如表所示

钢条价格表长度i(m)12345678910价格Pi1589101717202430

假设只能做整数切割，现在有 一个4米的钢条应该如何切割才能获得最高价格？

直观分析4米的切割方法有4、1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2四种其中2+2的分割可以获得最大价格5+5=10。这里面隐含最优子结构和重叠子问题两个重要概念。

最优子结构性质：将4米钢条分割为2+2的钢条，对于2米的钢条有2或1+1=两种分法，我们最后通过判断2比1+1组合价格更高所以选定2这个方案。我们将问题分割为更小规模的2米钢条分割的问题，并在子问题中求得切割方案的最优解，构成原问题的最优解，这就是最优子结构性质。

重叠子问题：4米钢条分法中：4、1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2不管什么组合都会得到关于求解1、2、3、4的更小钢条分割的子问题。比如2+2中反复求解最优子结构2米钢条最优解，1+1+1+1中反复求解1米钢条的最优解（虽然只有一个）。动态规划中通常应用记忆化方法，第一次计算将这些需要反复求解的子问题存到一个表中，再次需要计算时查表就可以得到值。

如果是7米呢？

如果我们将它分为3+4我们就找3米和4米的最优解，而4米钢条分割问题已经在上面求解为2+2所以最后的最优解为2+2+3。其中2米3米4米的最优解都是前面求解的子问题即重叠子问题。（另一个解1+6思想一样）

概念和实例都看过，我们就来看动态规划问题的解决方法，动态规划的解决问题核心就是状态转移方程。不管带备忘的自顶向下法还是自底向上法都是基于状态转移方程，无非求解问题的方式不同而已，核心的状态转移方程都没有变化。

还是看上面实例，对于n米钢条切割最高价格问题，n米钢条首先切割为2段，m和n-m，价格p，最优价格为r：

r=max(r(m))+max(r(n-m))；

对于m和n-m长的钢条切割子问题满足最优子结构和重叠子问题性质，上面式子即为状态转移方程。进一步看算法导论中给出了这个问题的简化版本简化问题，将钢条从左边切割下长度为m的一段，只对右边n-m继续切割，对左边不再继续切割。所以状态转移方程成为

r=max(p(m)+r(n-m))

得到状态转移方程就得到了最核心的状态变化，代码附在最后。

总结

动态规划的核心是状态的定义和状态转移，其中最优子结构和重叠子是用来分析问题的，解决问题还是通过状态转移方程，而对于递归、记忆性和重叠子问题都是简化问题的技巧。

动态规划与分治：适合分治方法求解的问题通常在递归的每一步都产生全新的子问题[3]，动态规划则是反复求解想通的子问题。

动态规划与贪心：在一个课程上听过一个老师讲过如图1的理解。贪心算法每一步都获得当前的最优解，当前问题的子问题都是最优解不需要重复求解子问题，形式为单链式的。动态规划当前问题的最优解需要组合子问题，需要反复求解子问题，是相互影响的。

代码（以7米分割为例）：

#include<iostream>using namespace std;void main(){int cut(int p[], int n,int r[]);int p[8] = { 0,1,5,8,9,10,17,17 };//钢条价格表从0米到7米int r[8];for (int i = 0; i < sizeof(r) / sizeof(int);i++)r[i] = -1;cout << cut(p, 7, r) << endl;}int cut(int p[], int n, int r[]) {int maxp = 0;int max(int x, int y);if (n == 0)return 0;if (r[n] >0)return r[n];else //求未知的r[n]{for (int i = 1; i <= n; i++){maxp = max(maxp, p[i] + cut(p, n - i, r));}}r[n] = maxp;return r[n];}int max(int x, int y){return x >= y ? x : y;}

[1]维基百科https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92

[2]算法导论（第三版）.204

[3]算法导论（第三版）.219