AHU-OJ-8 童年趣事与斐波那契家的兔子

Description

redraiment小时候走路喜欢蹦蹦跳跳，他最喜欢在楼梯上跳来跳去。
但年幼的他一次只能走上一阶或者一下子蹦上两阶。
现在一共有N阶台阶，请你计算一下Redraiment从第0阶到第N阶共有几种走法。

Input

输入包括多组数据。
每组数据包括一行:N(1≤N≤40)。
输入以0结束。

Output

对应每个输入包括一个输出。
为redraiment到达第n阶不同走法的数量。

点击打开链接

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一开始拿到这道题感觉没有思路，想着怎么用递归来解决。后来列出来前几阶的方法数，看出来是斐波那契数列（Fibonacci sequence）：1、1、2、3、5、8、13、21、34......

在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

所以本题出一个数组和一个for循环就可以解决（没必要调用函数递归）：

因为本题给了台阶上限40，所以出一个[41]的数组，这样数组里的最后一个元素就是[40]了。

因为   f[i] = f[i-1] + f[i-2];所以i要从2开始。

可以把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1);另一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。因此，n级台阶的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到这里，不难看出这实际上就是斐波那契数列了。

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斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。
按此规律，并假定兔子没有死亡，n个月后共有多少个兔子？

f(1) = 1(第1个月有一对兔子）
f(2) = 1(第2个月还是一对兔子）
f(3) = 2(原来有一对兔子，第3个开始，每个月生一对兔子）
f(4) = 3(原来有两对兔子，有一对可以生育）
f(5) = 5(原来有3对兔子，第3个月出生的那对兔子也可以生育了，那么现在有两对兔子可以生育）
f(6) = 8(原来有5对兔子，第4个月出生的那对兔子也可以生育了，那么现在有3对兔子可以生育）
..............
由以上可以看出，第n个月兔子的对数为
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2);
f(n-1)是上个月的兔子数量，是原来有的。
f(n-2)是可以生育的兔子数，即多出来的数量。第n-2个月开始后的第3个月是第n个月，此时第n-2个月时的兔子都可以生育了。

下面使用了迭代、递归和数组三种解法。

运行结果：

运行结果：输入要计算的月数：10第1个月有1只第2个月有1只第3个月有2只第4个月有3只第5个月有5只第6个月有8只第7个月有13只第8个月有21只第9个月有34只第10个月有55只

运行结果：

输入要计算的月数：1010个月的兔子总数为55

递归看上去非常符合逻辑，但是这种递归效率是非常慢的。具体请看点击打开链接

运行结果：

请输入月数:10第10个月的兔子为：55