300. Longest Increasing Subsequence

300. Longest Increasing Subsequence

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.

For example,
Given [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18],
The longest increasing subsequence is [2, 3, 7, 101], therefore the length is 4. Note that there may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length.

Your algorithm should run in O(n2) complexity.

Follow up: Could you improve it to O(n log n) time complexity?

解法一：动态规划，定义一个数组dp(n)，其中dp[i]的含义是：nums[0, ..., i]的LIS。它的递推式是：如果nums[i]>nums[j],其中0<=j<i，则dp[i]=max{dp[j]+1}。最终的结果：res=max{dp[0], ... ,dp[n-1]}。

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {       int i, n=nums.size();       if(!n) return 0;        vector<int> dp(n,1);        int res=1;        for(int i=0;i<n;i++)        {        for(int j=0;j<i;j++)        {            if(nums[i]>nums[j])            {                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);            }        }        res=max(res,dp[i]);        }        return res;    }

算法复杂度: O(n^2)

解法2：点击打开链接 二分搜索

思路：定义一个数组tails(n)，其中tails[i]的含义是：LIS长度为i+1的序列的最小的尾部。

例如：对于nums=[4, 5, 6, 3]

len=1:  [4], [5], [6], [3] =>tails[0]=3

len=2: [4, 5], [4,6], [5,6] => tails[1]=5

len=3: [4,5,6] =>tails[2]=6

tails数组是递增的。因此我们可以用二分搜索找到，要更新的LIS。

对nums数组中的每个元素遍历时，我们只要做以下两者之一：

1）如果x大于tails的所有元素，那么size++

2）否则，找到这样的tails元素，tails[i-1]<x<=tails[i],更新tails[i]=x。因为len=i的新的LIS，可由tails[i-1]对应LIS后面加x组成。

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {       int i, n=nums.size();       if(!n) return 0;       vector<int> tails(n);       int size=0;       for(int num:nums)       {           int i=0,j=size;           while(i<j)           {               int m=(i+j)/2;               if(tails[m]<num)               i=m+1;               else j=m;           }           tails[i]=num;           if(i==size) size++;       }       return size;    }

时间复杂度：O(nlgn)

仍然是解法2，有更简单的代码写法。来源于此

<span style="font-size:18px;"> int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {       int  n=nums.size();       if(!n) return 0;       vector<int> tails;       for(int num:nums)       {         auto it=lower_bound(tails.begin(),tails.end(),num);         if(it==tails.end()) tails.push_back(num);         else *it=num;       }       return tails.size();    }</span>

说明：auto it=lower_bound(tails.begin(),tails.end(),num);

lower_bound返回一个迭代器，该迭代器指向第一个不小于num的元素。如果指向结尾，说明当前元素大于tails里的所有元素，直接加入，否则，将第一个不小于num的元素*it，更新为num.