三字母字符串组合

来源：互联网发布：视频拼接软件编辑：程序博客网时间：2024/04/30 12:26

本总结是是个人为防止遗忘而作，不得转载和商用。

题目

仅由三个字符A、B、C构成字符串，且字符串任意三个相邻元素不能完全相同。如“ACCCAB”不合法，“ABBCBCA”合法。

求满足条件的长度为n的字符串个数。

PS1：假定不考虑整数溢出

PS2：要求时间和空间复杂度不高于O(N)。

分析

若当前已经有了所有长度为n-1的合法字符串，如何在末端增加一个字符，形成长度为n的字符串呢？

为了解决此问题就需要将长度为n-1字符串分成“末尾两个字符不相等”和“末尾两个字符相等”两种情况，各自数目记做dp[n-1][0], dp[n-1][1]，即：

dp[n][0]：长度为n的字符串最后两个不相同

dp[n][1]：长度为n的字符串最后两个相同

然后分别考虑这两种情况。

1，要想使“长度为n的字符串最后两个不相同”，则“长度为n-1的字符串的最后两个字符可以相等，可以不相等，且相等有两种情况，不相等有两种情况”，如：

下面的红色字母是第n位

n-1的字符串的最后两个字符相等时，长度为n的字符串最后两个不相同：

情况1：ABCAABABBC

情况2：ABCAABABBA

n-1的字符串的最后两个字符不相等时，长度为n的字符串最后两个不相同：

情况1：ABCAABABAC

情况2：ABCAABABAB

所以dp[n][0] = 2*dp[n-1][0] + 2*dp[n-1][1]。

2，要想使“长度为n的字符串最后两个相同”，则“长度为n-1的字符串的最后两个字符只能不相等，且只有一种情况”，如：

下面的红色字母是第n位

情况1：ABCAABABAA

所以dp[n][1] = dp[n-1][0]

最后，初始条件是：

dp[1][0]= 3

dp[1][1]= 0

状态转移方程

现在就可以写出状态转移方程了，如下：

初始条件：

dp[1][0] = 3

dp[1][1]= 0

状态转移方程：

dp[n][0] = 2*dp[n-1][0] +2*dp[n-1][1]

dp[n][1]= dp[n-1][0]

滚动数组

按理说有了初始条件和状态转移方程就可以写代码了，不过可以在优化优化。

因为有了长度n-1的字符串的数量就可以计算长度为n的，有了长度为n的就可以计算长度为n+1的，所以没必要将n-1的所有情况都保存，只需要记录当前的就OK了。

所以状态转移方程可以更新成“滚动数组”的样子，如下。

dp[0]= 2*dp[0] + 2*dp[1]

dp[1]= dp[0]

PS：使用滚动数组，将空间复杂度由O(N)降到O(1)

代码

于是代码就好简单好简单，如下：

int CalcCount(int n){     // 初始条件   int nNonRepeat = 3   int nRepeat = 0;    // 滚动数组   int t;   for (int i = 2; i <= n; i++) {       t = nNonRepeat;       nNonRepeat = 2*(nNonRepeat + nRepeat);       nRepeat = t;   }      return nRepeat + nNonRepeat;}

不过还可以再优化！

你看，对于滚动数组，如果把dp[0]看成x，dp[1]看成y的话，那这个式子就可以写出下面的样子：

x= 2x + 2y

y= x

如果用矩阵表达的话就是：

即：我们就是在求(x,y)这么一个向量在矩阵的作用下不停的迭代的过程，即：

而这里最后需要计算一个n-1次幂，这就可以使用http://blog.csdn.net/xueyingxue001/article/details/52913274中介绍的方法，这样一来就可以将时间复杂度降为了O(logN)

0 0