数组和广义表

5.1 数组的定义

数组：由一组类型相同、下标不同的变量构成。

特点：各个元素具有统一类型、下标 具有固定上界和下界、基本操作简单（初始化、销毁、修改、存取）

N维数组：n个下标，每个元素受到n个关系约束；一个n维数组可以看成是由若干个n-1维数组成的线性表。

5.2 数组的顺序存储

计算机的存储结构是一维的，而数组一般是多维的，那么就要进行一维化：事先约定按某种次序将数组元素排成一列序列，然后将这个线性表存入存储器中。例如：二维数组可以规定按行存储，也可以规定按列存储。C中采用行优先顺序。

利用一维线性存储的特性，可以计算数组元素的地址，必须知道的参数：①开始节点的存放地址即基地址②维数和每维的上下界③每个数组元素所占用的单元数。

n维数组任意元素的地址计算公式：

Loc(j₁,j₂,j₃,…,j_n)=Loc(0,0,..,0)+  其中c_n=L,c_i-1=b_i*c_i , 1<i≤n。

N维数组的顺序存储表示：

#define MAX_ARRAY_DIM 8 //假设最大维数为8

typedef struct{

     ElemType *base; //数组元素基址

  int dim;//数组维数

  int *bound;//数组各维长度信息保存区基址

  int *constants;//数组映像函数常量的基址

}Array;

数组的链式存储方式—用带行指针向量的单链表表示。

5.3 矩阵的压缩存储

为了节省数组元素的存储空间，所谓的压缩存储就是为多个值相同的元素只分配一个存储空间；对0元素不分配空间。若值相同的元素或0元素在矩阵中的分布有一定规律，则称此类矩阵为特殊矩阵；反之，成为稀疏矩阵（非0元素少）。

那么在稀疏矩阵中如何存储那些非0元素，稀疏矩阵的表示方法：

①  三元组：（i,j,a_ij）

②  十字链表：

i

J

V

Down

right

    

 

 

 

down：同一列中下一非零元素的指针

right：同一行中下一非零元素的指针

每行非零元素链接成带表头结点的循环链表；每列非零元素也链接成带表头结点的循环链表。

③  三元组矩阵表：失去时机存储功能

④  带辅助向量的三元组表示。增加两个辅助向量。

记录每行非0元素个数，用NUM(i)表示；每行第一个非0元素在压缩后的三元组中的行号，用POS(i)表示。示例：

对于稀疏矩阵：
0  12 9  0  0  0

0  0   0 0  0  0

-3  0  0 0  14  0

0  0   24 0 0   0

0  18  0 0  0   0

15  0  0 -7  0  0

辅助向量表：

i

1

2

3

4

5

6

NUM(i)

2

0

2

1

1

2

POS(i)

1

3

3

5

6

7

POS(i)=POS(i-1)+NUM(i-1)

  三元组矩阵表：

i

j

v

6

6

8

1

2

12

1

3

9

3

1

-3

3

5

14

4

3

24

5

2

18

6

1

15

6

4

-7

 

 

稀疏矩阵的转置，实现方法：压缩转置和快速转置。（以三元组表的形式表示稀疏矩阵）

压缩转置：反复扫描原表序列，从j=1-n依次进行转置。

快速转置：生成矩阵三元组表的按列优先的辅助向量，然后实现快速转置。 该辅助矩阵中num行记录第col列的非零个数，第一个cpos默认为1，之后的cpos为前一项的col和num之和。

col

1

2

3

4

5

6

num[col]

2

2

2

1

1

0

cpos[col]

1

3

5

7

8

8

利用上面的辅助向量进行转置：遍历非零元素，通过元素的col列查找到相应的cpos[col]即其在转置矩阵中的位置为cpos[col]，将该元素与三元矩阵相应的第cpos[col]交换后将矩阵表中的cpos[col]++和num[col]--。

两个算法的比较：记矩阵中列数为n，非零元素为t，m为总行数，则压缩转置时间复杂度为O(m*t),快速转置则为O(n+t)。快速转置增设辅助向量，空间换取时间。

5.4 广义表的定义

广义表：元素的值非原子类型，可以再分解，表中元素也可是一个线性表；所有数据元素仍然属于同一数据类型。

定义：广义表是线性表的推广，也称为列表。记为：LS=（a₁,a₂,…,a_n）;其中表名为LS，表头为a₁，表尾包括了从a₂到a_n。

约定：①用小写字母表示原子类型，用大写字母表示列表；②第一个元素是表头，而其余元素则组成表尾。

广义表中元素既可是原子类型，也可是列表；当每个元素都为原子且类型相同时，就是线性表。

特点：1.次序性：每个元素都有一个直接前驱和一个直接后继，首尾有点特殊性2.有长度，表中元素个数3.有深度，表中括号重数4.可递归，自己作为自己的字表5.可共享

 

5.5 广义表的存储结构

   通常用链式结构，每个元素用一个结点表示。

   原子结点：表示原子，可设2个域或三个域。例如（tag=0，value）或（tag=0，atom，tp），其中tp是指向表尾的指针域。

   表结点：表示列表，若表不空，可以分解为表头和表位，三个域：tag=1，表头指针（指向表头元素），表尾指针（指向表尾列表）。

5.6 总结

1. 数组可以视为一种广义线性表

2. 数组的存储有行/低地址优先和列/高地址优先两种不同的顺序

3. 对于稀疏矩阵，有较好的压缩存储和运算方法

4. 广义表是线性表的推广，也是一种线性结构

5. 任何一个非空表，表头可能是原子，也可能是列表，但是表尾一定是列表

⒈广义表的定义和性质

我们知道，线性表是由n个数据元素组成的有限序列。其中每个组成元素被限定为单元素，有时这种限制需要拓宽。例如，中国举办的某体育项目国际邀请赛，参赛队清单可采用如下的表示形式：

（俄罗斯，巴西，（国家，河北，四川），古巴，美国，（），日本）

在这个拓宽了的线性表中，韩国队应排在美国队的后面，但由于某种原因未参加，成为空表。国家队、河北队、四川队均作为东道主的参赛队参加，构成一个小的线性表，成为原线性表的一个数据项。这种拓宽了的线性表就是广义表。

广义表（Generalized Lists）是n（n≥0）个数据元素a₁，a₂，…，a_i，…，a_n的有序序列，一般记作：

ls＝（a₁，a₂，…，a_i，…，a_n）

其中：ls是广义表的名称，n是它的长度。每个a_i（1≤i≤n）是ls的成员，它可以是单个元素，也可以是一个广义表，分别称为广义表ls的单元素和子表。当广义表ls非空时，称第一个元素a₁为ls的表头（head），称其余元素组成的表（a₂，…，a_i，…，a_n）为ls的表尾（tail）。

显然，广义表的定义是递归的。

为书写清楚起见，通常用大写字母表示广义表，用小写字母表示单个数据元素，广义表用括号括起来，括号内的数据元素用逗号分隔开。下面是一些广义表的例子：

A ＝（）

B ＝（e）

C ＝（a，（b，c，d））

D ＝（A，B，C）

E ＝（a，E）

F ＝（（））

⒉广义表的性质

从上述广义表的定义和例子可以得到广义表的下列重要性质：

⑴广义表是一种多层次的数据结构。广义表的元素可以是单元素，也可以是子表，而子表的元素还可以是子表，…。

⑵广义表可以是递归的表。广义表的定义并没有限制元素的递归，即广义表也可以是其自身的子表。例如表E就是一个递归的表。

⑶广义表可以为其他表所共享。例如，表A、表B、表C是表D的共享子表。在D中可以不必列出子表的值，而用子表的名称来引用。

广义表的上述特性对于它的使用价值和应用效果起到了很大的作用。

广义表可以看成是线性表的推广，线性表是广义表的特例。广义表的结构相当灵活，在某种前提下，它可以兼容线性表、数组、树和有向图等各种常用的数据结构。

当二维数组的每行（或每列）作为子表处理时，二维数组即为一个广义表。

另外，树和有向图也可以用广义表来表示。

由于广义表不仅集中了线性表、数组、树和有向图等常见数据结构的特点，而且可有效地利用存储空间，因此在计算机的许多应用领域都有成功使用广义表的实例。

⒊广义表基本运算

广义表有两个重要的基本操作，即取头操作（Head）和取尾操作（Tail）。

根据广义表的表头、表尾的定义可知，对于任意一个非空的列表，其表头可能是单元素也可能是列表，而表尾必为列表。例如：

Head（B）＝ e Tail（B）＝（）

Head（C）＝ a Tail（C）＝（（b，c，d））

Head（D）＝ A Tail（D）＝（B，C）

Head（E）＝ a Tail（E）＝（E）

Head（F）＝（） Tail（F）＝（）

此外，在广义表上可以定义与线性表类似的一些操作，如建立、插入、删除、拆开、连接、复制、遍历等。

CreateLists(ls)：根据广义表的书写形式创建一个广义表ls。

IsEmpty(ls)：若广义表ls空，则返回True；否则返回False。

Length(ls)：求广义表ls的长度。

Depth(ls)：求广义表ls的深度。

Locate(ls，x)：在广义表ls中查找数据元素x。

Merge(ls1，ls2)：以ls1为头、ls2为尾建立广义表。

CopyGList(ls1，ls2)：复制广义表，即按ls1建立广义表ls2。

Head(ls)：返回广义表ls的头部。

Tail(ls)：返回广义表的尾部。

……

5.4.2 广义表的存储

由于广义表中的数据元素可以具有不同的结构，因此难以用顺序的存储结构来表示。而链式的存储结构分配较为灵活，易于解决广义表的共享与递归问题，所以通常都采用链式的存储结构来存储广义表。在这种表示方式下，每个数据元素可用一个结点表示。

按结点形式的不同，广义表的链式存储结构又可以分为不同的两种存储方式。一种称为头尾表示法，另一种称为孩子兄弟表示法。

⒈头尾表示法

若广义表不空，则可分解成表头和表尾；反之，一对确定的表头和表尾可惟一地确定一个广义表。头尾表示法就是根据这一性质设计而成的一种存储方法。

由于广义表中的数据元素既可能是列表也可能是单元素，相应地在头尾表示法中结点的结构形式有两种：一种是表结点，用以表示列表；另一种是元素结点，用以表示单元素。在表结点中应该包括一个指向表头的指针和指向表尾的指针；而在元素结点中应该包括所表示单元素的元素值。为了区分这两类结点，在结点中还要设置一个标志域，如果标志为1，则表示该结点为表结点；如果标志为0，则表示该结点为元素结点。其形式定义说明如下：

typedef enum {ATOM, LIST} Elemtag; /*ATOM=0：单元素；LIST=1：子表*/

typedef struct GLNode {

Elemtag tag; /*标志域，用于区分元素结点和表结点*/

union { /*元素结点和表结点的联合部分*/

datatype data; /*data是元素结点的值域*/

struct {

struct GLNode *hp, *tp

}ptr; /*ptr是表结点的指针域，ptr.hp和ptr.tp分别*/

/*指向表头和表尾*/

};

}*GList; /*广义表类型*/