形式化开发方法-时态逻辑

Kripke结构: 三元组M = （W, R, L）称为Kripke结构（模型），其中W是可能世界的非空集合；R Í W´W是可能世界W上的二元关系；L：W®2P （P为原子公式集合）是标记函数，它是对各可能世界的真值指派，即对每个原子公式，指明它在每个可能世界中取真值还是假值。

在Kripke结构模型中，对于"sÎW，R(s)= {tÎW| <s, t>ÎR}，称为可能世界s的1步可达可能世界集合。约定

R0  (s)= {s}

R1 (s)= R（s）

R2 (s)= R（R (s)） = {tÎW | u Î R1(s) 且<u, t> ÎW}

Rk+1 (s)= R（Rk (s)） = {tÎW | u Î Rk(s) 且<u, t> ÎW}

则，称Rk（s） 为可能世界s的k（k³0）步可达可能世界集合。对于"skÎW且<sk-1, sk>ÎR （1£ k £ n），序列<s0, s1><s1, s2>…<sk-1, sk>,<sk, sk+1>…<sn-1, sn>建立了可能世界s0到sn的n步可达关系，并称之为可能世界s0到sn的一条长度为n的路径，简记为s0s1s2…sk-1sk sk+1…sn-1sn。

 

 

Kripke结构的有向图表示：用圆圈表示可能世界、有向弧线表示可能世界之间的关系、标记函数标识在圆圈内（即每一圆圈内标注了该可能世界中成立的原子公式）。

 一个Kriple结构的有向图：可能世界集W={s0, s1, s2}、二元关系R= {<s0, s1>,<s0, s2>,<s1, s0>, <s1, s2>,<s2, s2>}、标记函数L（s0）={p, q}, L（s1）={q, r},L（s2）={r}。

 

s0s1s2s2和s0s1s0s1s2分别为可能世界s0到s2的长度为3和4的路径

s1s2s2s2和s1s0s1s0s1s2分别为可能世界s1到s2的长度为3和5的路径

 

在模型M的可能世界s中为真的公式j，表示为M,s╞ j或╞s j；在模型M的所有可能世界中为真的公式j，表示为M╞ j或╞ j，并称╞为满足关系。

基于模态逻辑的Kripke结构模型，可以考察模态逻辑公式的解释或语义：对于M = （W, R, L），p, qÎP和s, tÎW有，

① M,s╞ p    当且仅当 pΠL（s）

② M,s╞Øp   当且仅当 pÏ L（s）

③ M,s╞ pÚq 当且仅当 pΠL（s） 或者qΠL（s）

④M,s╞pÙq 当且仅当 pΠL（s） 且qΠL（s）

⑤M,s╞ ðp 当且仅当 "tΠRk（s）（k³0），pÎL（t）

⑥M,s╞àp 当且仅当 $tΠRk（s）（k³0），pÎL（t）