四元数 旋转 旋转矩阵 欧拉角互相转换

四元数的作用

表达旋转。

旋转的表达方式有很多种，有欧拉角，旋转矩阵，轴角，四元数(unit quaternion)，unit quaternion是一种表达旋转的方式。

不同的旋转表达方式概览

（1）欧拉角：

欧拉角使用最简单的x,y,z值来分别表示在x，y，z轴上的旋转角度，其取值为0-360(或者0-2pi），一般使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。

优缺点：

这里的旋转是针对世界坐标系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴。

1）不易在任意方向的旋转轴插值； 2）万向节死锁；3）旋转的次序无法确定。

（2）轴角：

用一个以单位矢量定义的旋转角，再加上一个标量定义的旋转角来表示旋转。通常的表示[x,y,z,theta]，前面三个表示轴，最后一个表示角度。

优缺点：

表示非常直观，也很紧凑。
轴角最大的一个局限就是不能进行简单的插值，此外，轴角形式的旋转不能直接施于点或矢量，必转换为矩阵或者四元素。

四元数与轴角转化

旋转轴向量为：，旋转角度为

那么与此相对应的四元数

注意：

对一个格式形如[ w，（x,y,z）]的quaternion，对quaternion最大的误解在于认为w表示旋转角度，V表示旋转轴。正确的理解应该是w与旋转角度有关，v与旋转轴有关

四元数的常用运算应用

（1）求一个点在这个四元数q下，旋转后的新的坐标：

1.定义纯四元数

2.进行四元数运算

3.产生的一定是纯四元数，也就是说它的第一项为0，有如下形式：

4.中的后三项就是：

这样，就完成了一次四元数旋转运算。

同理，如果你有一个四元数：

那么，它对应一个以向量为轴旋转角度的旋转操作（右手法则的旋转）。

（2）两个四元数的旋转合成

给定两个四元数p和q，分别代表旋转P和Q，则乘积pq表示两个旋转的合成（即旋转了Q之后再旋转P），并不是用加法。四元数的乘法定义如下，利用简单的分配律就是了：

q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k

由于q = w + x i + y j + z k中可以分为纯量w与向量x i + y j + z k，所以为了方便表示，将q表示为(S, V)，其中S表示纯量w，V表示向量x i + y j + z k，所以四元数乘法又可以表示为：
q1 * q2 = (S1 + V1)*(S2 + V2) = S1*S2 - V1.V2 + V1XV2 + S1*V2 + S2*V1

四元数与其他形式的各种转化：

四元素转欧拉角

欧拉角转四元素

四元素转旋转矩阵

R(q)=⎡⎣⎢1−2(y2+z2)2(xy+zw)2(xz−yw)2(xy−zw)1−2(x2+z2)2(yz+xw)2(xz+yw)2(yz−xw)1−2(x2+y2)⎤⎦⎥

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1. Matrix4x4(  
2.         1.0f - 2.0f*y*y - 2.0f*z*z, 2.0f*x*y - 2.0f*z*w, 2.0f*x*z + 2.0f*y*w, 0.0f,  
3.         2.0f*x*y + 2.0f*z*w, 1.0f - 2.0f*x*x - 2.0f*z*z, 2.0f*y*z - 2.0f*x*w, 0.0f,  
4.         2.0f*x*z - 2.0f*y*w, 2.0f*y*z + 2.0f*x*w, 1.0f - 2.0f*x*x - 2.0f*y*y, 0.0f,  
5.         0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f  
6.         )  

欧拉角转旋转矩阵

Reference：

如何形象地理解四元数？ - 回答作者: Yang Eninala http://zhihu.com/question/23005815/answer/33971127 (想看更多？下载 @知乎 App：http://weibo.com/p/100404711598 )

http://blog.csdn.net/silangquan/article/details/39008903#comments