如何判断一个n次多项式是否对称？

题目大意：给出一个n次多项式anxn+an−1xn−1+...+a0 (an≠0)，判断这个多项式的函数图像是否轴对称/中心对称
n≤105

定理：n次多项式(n≥2)如果轴对称/中心对称，其对称轴/对称中心的横坐标必为−an−1n∗an
证明：设对称轴/对称中心横坐标为r，则f(2r−x)的n−1次项系数为n∗2r∗(−1)n−1+an−1∗(−1)n−1

若n为偶数则：
f(x)=f(2r−x)
=> an∗n∗2r∗(−1)+an−1∗(−1)=an−1

若n为奇数则：
f(x)+f(2r−x)=2f(r)
=> an∗n∗2r+an−1+an−1=0

解得
r=−an−1n∗an

已知常数r，现在我们要判断：
f(x)是否等于f(2r−x)(n为偶数)
f(x)是否等于2f(r)−f(2r−x)(n为奇数)

以下做法以n为偶数为例，n为奇数做法类似，不赘述了

做法0：FFT多点求值
取两两不同的⌊(n+1)/2⌋个点x1,x2,...,xk (xi<r)，分别判断是否满足f(x)=f(2r−x)，若均满足则f(n)对称，否则不对称。
证明：
必要性显然
充分性：
设g(x)=f(2r−x)，则f(xi)=f(2r−xi)=g(xi)
即
f(x1)=g(x1),f(x2)=g(x2),...,f(xk)=g(xk)
f(2r−x1)=g(2r−x1),f(2r−x2)=g(2r−x2),...,f(2r−xk)=g(2r−xk)
f(r)=g(r)
由n+1个点确定一个n次多项式可知，
f(x)=g(x)
即
f(x)=f(2r−x)
证毕。
利用FFT多点求值求出这2k个点的点值，分别判断，时间复杂度O(nlog2n)

做法1：FFT直接展开f(2r−x)
二项式定理展开，f(2r−x)的m次项系数为：
∑ni=mCmi(2r)i−m(−1)m
=(−1)mm!∑ni=m(i!)∗((2r)i−m(i−m)!)
容易发现这是一个卷积的形式，于是用FFT直接求出，时间复杂度O(nlogn)

由于上面两个做法对小朋友很不友好，所以下面我们来介绍一种理论正确率100%的不确定性算法。。。(什么鬼)

做法2：Schwartz–Zippel引理
我们选取一个随机的x，判断f(x)是否等于f(2r−x)，若等于则对称，否则不对称
显然如果不等于那么铁定不对称，但是如果等于，错误率是多少？
Schwartz–Zippel引理：设f(x1,x2,...,xn)为数域F上的n元d次非零多项式，则随机取一组x1,x2,...,xn，则f(x1,x2,...,xn)=0的概率≤d|F|
对于实数域上的多项式f来说，|F|=∞，d|F|=0
所以正确率是100%【捂脸】

如果觉得不靠谱就多随机几个值好了
时间复杂度O(n)

所以这题出不出来，大家看个乐呵吧【捂脸】