萌新学习图的强连通（Tarjan算法）笔记

--主要摘自北京大学暑期课《ACM/ICPC竞赛训练》 

在有向图G中，如果任意两个不同顶点相互可达，则称该有向图是强连通的；

有向图G的极大强连通子图称为G的强连通分支；

Tarjan算法： 

做一遍DFS，

Dfn[ i ] 表示节点i 在DFS过程中的访问序号（也可以叫做开始时间）。

Low[ i ]表示从i 节点出发DFS过程中i 下方节点（可以说是开始时间大于dfn[ i ]，且由i 可达的节点；也可以说是与i邻接的未删除的顶点）所能到达的最早的节点的开始时间。

 

DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节 点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。

 

如果发现某节点u有边连到栈里的节点v，则更新u的low 值为min(low[u],dfn[v]) ，若low[u]被更新为dfn[v],则表明目前 发现u可达的最早的节点是v.

 

对于u的子节点v，从v出发进行的DFS结束回到u 时，使得 low[u] = min(low[u],low[v])。因为u可达v, 所以v可达的最早的节点，也是u可达的。

 

如果一个节点u，从其出发进行的DFS已经全部完 成并回到u，而且此时其low值等于dfn值，则说明 u可达的所有节点，都不能到达任何比u早的节点 --- 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树 中的根。

 

此时，显然栈中u上方的节点，都是不能到达比u 早的节点的。将栈中节点弹出，一直弹到u(包括u), 弹出的节点就构成了一个强连通分量.  

 

在DFS过程中会形成一棵搜索树，在搜索树上越先遍历到的节点，显然dfn的值就 越小。dfn值越小的节点，就称为越“早”。

 

模拟一发：

顶点

Dfn

low

栈

强连通分量

a

1

1

a

 

b

2

2

b,a

 

c

3

3

c,b,a

 

e

4

4

e,c,b,a=>e的low[i]==dfn[i] 变成c,b,a

{e}

d

5

5=>2(会访问到b，low[d]=min(dfn[b],low[b])=dfn[b]=2),

然后会回溯到c（low[c]=low[d]=dfn[b]=2）,最终b的low[b]=dfn[b]，b即为根；

a

{e},

{d,c,b}

f

6

6

f,a

{e},

{d,c,b}

g

7

7=>1会访问到a，low[g]=min(dfn[a],low[g])=dfn[a]=1),

然后会回溯到f（low[f]=low[g]=dfn[a]=1）,最终a的low[a]=dfn[a]，a即为根；

空

{e},

{d,c,b}

{g,f,a}

本人瞎几把说些吧。。。

在一次DFS的回溯过程中，如果发现low[i]==dfn[i]，那么当前顶点就是一个强连通分量的根。

因为如果不是强连通分量的根，那么一定属于另一个强连通分量（好像说了句废话），

而且他的根是当前顶点的祖宗，那么存在包含当前顶点的到其祖宗的回路，

可知最终该顶点v一定会在他的DFS过程中访问到他的祖宗，并且他的Low[v]会被修改成比dfn[v]更小的值，

应该就是其祖宗的dfn[root]值吧。祖宗先访问到，入栈，然后到了下面的子节点，子节点能访问到祖宗，然而他在栈里，

所以一直比较dfn[root]，而最小的值只有是dfn[root]和low[root]，所以最终root下面顶点low[i]都会等于dfn[root]。OK。

//链式前向星；struct asd{    int to;    int next;};asd edge[N];int tol,head[N];int tp;                 //记录当前访问时间int p;                  //栈容量int dfn[N];     //表示节点i 在DFS过程中的访问序号（也可以叫做开始时间）。int low[N];     //表示从i 节点出发DFS过程中i 下方节点所能到达的最早的节点的开始时间。bool vis[N];    //标记是否在栈中void tarjan(int u){    dfn[u]=low[u]=++tp;     //初始化    stap[++p]=u;                    //入栈    vis[u]=1;                           //标记    for(int v=head[u];v!=-1;v=q[v].next)    {        int i=q[v].to;        if(!dfn[i])             //如果还未被访问        {            tarjan(i);            low[u]=min(low[u],low[i]);        }        else if(vis[i])     //已被访问，且在栈中            low[u]=min(low[u],dfn[i]);    }    if(dfn[u]==low[u])          //如果是根节点    {        int temp;        while(1)        {            temp=stap[p];            vis[temp]=0;        //出栈标记；            p--;                                    if(temp==u)         //将该强连通分量弹出栈                break;        }    }}