Probabilistic Robotics读书笔记（一）

转自我的博客http://gongzheng92.net

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贝叶斯滤波器的推导

模型与方程

首先我们从贝叶斯滤波器谈起。
首先我们需要的是对机器人目前状态（states）的估计，用概率的方式表达为：

p(xt│x0:t−1,z1:t−1,u1:t)

上式可以在诸多假设条件（马尔科夫假设，观测不对环境造成影响等）下化为：

p(xt│xt−1,ut)(1)

同样的我们有测量模型：

p(zt│x0:t,z1:t−1,u1:t)=p(zt│xt)(2)

然而，由于状态(states)(x)的不可直接观测，于是我们提出了置信度（belief）的概念。于是我们希望得到的状态(1)估计便可转化为：

bel(xt)=p(xt|z1:t,u1:t）(3)

注意这里并没有应用马尔科夫假设。

然而这里对xt 的估计是先完成测量，再进行估计,因此(3)还有一种形式，便是

先完成估计，再进行测量

，即

bel¯¯¯¯(xt)=p(xt│z1:t−1,u1:t)(4)

于是我们就有了贝叶斯滤波器:

Byes_filter(bel(xt−1),ut,zt)for all xt dobel¯¯¯¯(xt)=∫p(xt|ut,xt−1)bel(xt−1)dxbel(xt)=ηp(zt|xt)bel¯¯¯¯(xt)endforreturn bel(xt)(5)

其实在这里，p(xt|ut,xt−1) 就是系统模型，p(zt│xt)就是测量模型。

推导过程

那么这个(5)是怎么来的呢？我们从(3)推起：

(p(xt│z1:x,u1:t)=p(zt│xt,z1:t−1,u1:t)p(xt│z1:t−1,u1:t)p(zt│z1:t−1,u1:t)=ηp(zt│xt,z1:t−1,u(1:t))p(xt│z1:t−1,u1:t))(6)

其中因为p(zt│z1:t−1,u1:t)与我们感兴趣的xt没有关系，因此可范化为η。

p(x,y)=p(x│y)p(y)=p(x)p(y) 记住联合概率（,）的运算级别高于条件概率（|）。
然后在这里推一下书上没推的公式：
Bayes rule: p(x│y)=p(y│x)p(x)p(y)

p(x│y,z)=p(y,z│x)p(x)p(y,z)=p(y,z,x)p(y│z)p(z)=p(y│x,z)p(x,z)p(y│z)p(z)=p(y│x,z)p(x)p(y|z)

然后在p(zt│xt,z1:t−1,u1:t)之中，由于我们假设测量zt只于当前状态有关，与之前的状态与历史控制量均无关系，因此我们有：

p(zt|xt,z1:t−1,u1:t)=p(zt│xt)

于是有：

p(xt│z1:t,u1:t)=ηp(zt│xt)p(xt|z1:t−1,u1:t)(7)

即

bel(xt)=ηp(zt│xt)bel¯¯¯¯(xt)

但其实这句话很废话，因为就是“测量前的估计乘以测量等于测量后的估计”。
然后：

bel¯¯¯¯(xt)=p(xt│z1:t−1,u1:t)=∫p(xt│xt−1,z1:t−1,u1:t)p(xt−1│z1:t−1,u1:t)dxt−1(8)

然后由于状态转移假设（其中包括了马尔科夫假设），则

p(xt│xt−1,z1:t−1,u1:t)=p(xt|xt−1,ut)

再加之忽略红色p(xt−1│z1:t−1,u1:t)部分的ut （因为是未来的控制量），于是我们有

bel¯¯¯¯(xt)=∫p(xt|ut,xt−1)bel(xt−1)dx