leetcode--unique_paths

leetcode–unique_paths

题意：给定一个m×n的网格，一个机器人从网格最左上角到网格最右下角，它只能往右或者往下走，总共有多少种唯一的路径。
               下图为一个简单的示例图，从start走到finish的位置，总共有多少种唯一的路径。

分析：本题采用动态规划求解。我们从简单的情况开始考虑，假设是1×1的网格，则只有唯一的一条路径，如果是m×1的网格（m为任意值）,那么机器人只能向下走，所以也只有一种路径，同理1×n的网格只能向右走也只有一种。那么，如果是个2×2的网格呢？假设网格中4个小方块分别用坐标(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)表示，位置如下方表示：

（2，2）（2，1）
（1，2）（1，1）

X(i, j)表示从坐标(i, j)到右下角点的唯一路径条数，则很容易得出X(1,1)=1, X(1,2)=1, X(2,1)=1，那么最终需要求解的左上角点X(2,2)=X(1,2)+X(2,1)(因为只能向右或者下走，读者自行画图很容易看出)。那么我们可以得到递推表达式x(i,j)=x(i−1,j)+x(i,j−1)，不过当i=1或者j=1时需要另当别论。
递推公式为：

x(i,j)=⎧⎩⎨x(i−1,j)+x(i,j−1)x(i−1,j)x(i,j−1)if i≥2 and j≥2if i≥2 and j=1if i=1 and j≥2

代码
递归方法如下：（但是递归方法太慢，不能通过所有样例，我放在这儿只是为了方便读者理解）

public int uniquePaths(int m, int n) {        if(m <= 1 && n <= 1){            return 0;        }else if((m == 1 && n == 2)||(m == 2 && n == 1)){            return 1;        }else if(m == 1 && n > 2){            return uniquePaths(m, n - 1);        }else if(n == 1 && m > 2){            return uniquePaths(m - 1, n);        }else{            return  uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);        }

迭代方法如下(最终采用该方法)：

public int uniquePaths(int m, int n){        if(m < 1 && n < 1){            return 0;        }else if(m == 1 || n == 1){            return 1;        }else{            int[][] result = new int[m][n];     //二维数组，用于保存每一步的结果            for(int i = m - 1; i >= 0; i--){                for(int j = n - 1; j >= 0; j--){                    if(i < m - 1 && j < n - 1){                        result[i][j] = result[i+1][j] + result[i][j+1];                    }else if(i < m - 2 && j == n - 1){                        result[i][j] = result[i+1][j];                    }else if(i == m - 1 && j < n - 2){                        result[i][j] = result[i][j+1];                    }else if(i == m - 2 && j == n - 1 || i == m - 1 && j == n - 2){     //用于赋初值                        result[i][j] = 1;                    }else{                        result[i][j] = 0;       //用于赋初值                    }                }            }            return result[0][0];        }    }

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