整数划分-张义胜

一、问题描述

将整数n表示成一系列整数之和，n=n₁+n₂+...+n_{k      （其中}n_1>n_2>....>n_k）

_{正整数n的这种表示称为正整数n的划分，例如正整数6：}

_6；

_5+1；

_{4+2；4+1+1；}

_{3+3；3+2+1；3+1+1+1；}

_{2+2+2；2+2+1+1；2+1+1+1+1；}

_{1+1+1+1+1+1；}

_{二、算法描述}

_{对于正整数n的划分，我们采用递归的方式}

_{首先div(n,m)表示将n的所有划分的最大加数不超过m的一系列加数之和的个数，我们可建立如下递归关系：}

_{(1)div(n,1)=1;//最大加不超过1的只有一种划分}

_{(2)div(n,m)=div(n,m-1)+div(n-m,m);n>m>1;}

_{(3)div(n,m)=div(n,n),n<=m;}

_{(4)div(n,n)=1+div(n,n-1);}

_{说明：div(n-m,m)表示将n表示成最大加数为m的一系列加数之和，或许有人就不明白为什么会是div(n-m,m)。}

_{我在这里解释一下，div(n,m)=div(n,m-1)+div(m-1,m);也就是说div(m-1,m)是把m表示成一系列加数之和且加数中一定包含m的个数。要把n表示为一系列加数之和，其中包含m，则n可表示为(n-m)+m,我们在把n-m拆开，把它表示为一系列加数之和，即n-m还可怎样划分，得div(m-1,m)。}

_三、源码

_{int div(int n,int m)//n和m分别表示待划分的数与最大加数不超过m}

_{

    _{if(n==m&&n==1)}

   _{

       _{return 1;   //m=n=1时只有一种划分，返回一}

   _}

   _if(n<1||m<1)

   _{

      _{return 0;//n小于1或m小于1时，为0}

   _}

   _else

   _{

     _if(n<m)

       _{

             _{return div(n,n);//如果m>n且大于1时，返回div(n,n)}

       _}

     _if(n==m)

      _{

            _{return 1+div(n,n-1);//当m=n且大于1时}

      _}

     _else

     _{

          _{return div(n,m-1)+div(n-m,m);//n>m且大于1}

     _}

   _}

_}

//第一次发文，不喜勿喷，如有不当之处，请大神指教