相加型整数划分总结篇

整数划分经典问题：

相加型划分总结：
整数划分问题主要可以分成两种解决方法；
1.dp[i][j]代表 n为i，j作为划分的最大数限制的方法数。
这种方式要考虑i，j三种情况分别处理，i < j时主要思考方向是存在j否。（取j，dp[i-j][j]）
2.dp[i][j]代表 n为i，j作为划分的个数限制的方法数。
这种方式只考虑i < j情况，i < j时主要思考方向是存在1否。（截边,dp[i-j][j]）

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具体：

一. 求整数划分若干（不大于k）整数和的划分数
（没有最大数限制k为n）
1.整数可以相同：
dp[i][j]代表： n为i，并划分为j以下的数方法数
初始化： dp[i][j] = 0。
(1) 当i < j 时，i不能划分为大于i的数。
(2) 当i > j 时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。
(3) 当i = j 时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。
总结递推式：
【i > j 】 dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];
【i == j】 dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;
【i < j 】 dp[i][j] = dp[i][i];
**************小划分线*****************
2.整数必须不同：
dp[i][j]代表： n为i，并划分并划分为j以下并不相同的数方法数
初始化： dp[i][j] = 0。
(1) 当i < j 时，i不能划分为大于i的数。
(2) 当i > j 时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，因为数要不相同，划分方案数为dp[i-j][j-1]；若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。
(3) 当i = j 时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。
总结递推式：
【i > j 】 dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j-1];
【i == j】 dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;
【i < j 】 dp[i][j] = dp[i][i];
————————————划分————————————
二. 求将n划分成k个正整数之和的划分数
dp[i][j]代表： n为i，并分成j个正整数的和时的方法数。
(1) i < j为不可能出现的情况，dp[i][j]=0；
(2) 若i = j，有一种情况：i可以划分为i个1之和，dp[i][j]=1；
(3) 若i > j，可以根据划分数中是否含有1分为两类：若划分数中含有1，可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]； 若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。
总结递推式：
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] (有1的情况) + dp[i-j][j] （没有1的情况）
————————————划分————————————
三. 将n划分成若干个奇正整数之和的划分数。
f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数；
g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数；
(1)使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]。
(2)f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1，即g[i-j][j]。
递推式：
g[i][j] = f[i-j][j]
f[i][j] = f[i-1][j-1]+g[i-j][j]
f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数
————————————划分————————————