一种求解线性方程组的技巧

给定一个线性方程组，不管是齐次还是非齐次，都有标准的算法：化为阶梯型，然后找基础解系求解。但是通常会将一个未知量放在系数矩阵偏左的位置，让你变化时非常难受，因此，将变量换位是这一类比较有效的解决技巧，计算量将大大降低，且非常顺手。

问：当λ何值时，方程组无解，有唯一解，或无穷多解？

⎧⎩⎨⎪⎪2x1+λx2−x3=1,λx1−x2+x3=2,4x1+5x2−5x3=−1

通常题目给定是怎样的顺序我们便怎么用，而不会多加思考，是不是可以调整顺序？

如果按照题目的顺序，那么可得系数矩阵：

⎡⎣⎢⎢2λ4λ−15−11−5⎤⎦⎥⎥

稍微一思考，就知道在尝试化简到阶梯型时，很不好操作前两列，因为第一行前两列数字是2，λ,我们忍不住想，如果第一行前两列是两个常数，这样多好啊！

既然会有如此感叹，不正意味着这是一条出路吗？

因此，我们可以调整方程组为：

⎧⎩⎨⎪⎪−x3+2x1+λx2=1,x3+λx1−x2=2,−5x3+4x1+5x2=−1

这样只需要注意变量顺序，就可以把系数矩阵变成我们想要的形式。

⎡⎣⎢⎢−11−52λ4λ−15⎤⎦⎥⎥

用增广矩阵：

⎡⎣⎢⎢−11−52λ4λ−15|||12−1⎤⎦⎥⎥

很容易变阶梯型为：

⎡⎣⎢⎢−100260λ5λ−5(1−λ)(4+5λ)|||166(1−λ)⎤⎦⎥⎥

由此讨论如下：

λ≠1且λ≠−45时，方程组唯一解。

λ=1时，方程组无穷多组解。

λ=−45时，方程组无解。

需要特别注意此时xi的顺序！