平衡二叉树

        平衡二叉树简称平衡树，是由Adelson-Velskii和Landis于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。他的定义很简单，就是若一棵二叉树的每个左右节点的高度差最多相差1，此二叉树即是平衡二叉树。把二叉树的每个节点的左子树减去右子树定义为该节点的平衡因子。二叉平衡树的平衡因子只能是1、0或者-1。

        平衡二叉树是对二叉搜索树(又称为二叉排序树)的一种改进。二叉搜索树有一个缺点就是，树的结构是无法预料的，随意性很大，它只与节点的值和插入的顺序有关系，往往得到的是一个不平衡的二叉树。在最坏的情况下，可能得到的是一个单支二叉树，其高度和节点数相同，相当于一个单链表，对其正常的时间复杂度有O(lb n)变成了O(n)，从而丧失了二叉排序树的一些应该有的优点。

        当插入一个新的节点的时候，在普通的二叉树中不用考虑树的平衡因子，只要将大于根节点的值插入到右子树，小于节点的值插入到左子树，递归即可。而在平衡二叉树则不一样，在插入节点的时候，如果插入节点之后有一个节点的平衡因子要大于2或者小于-2的时候，他需要对其进行调整。

对于一个平衡的节点，由于任意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，此节点的两颗子树的高度差2.容易看出，这种不平衡出现在下面四种情况：

　　1、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。

　　2、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。

　　3、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。

　　4、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。

　　从图2中可以可以看出，1和4两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，我们称之为双旋转。

单旋转

　　单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案，这两种情况是对称的，只要解决了左左这种情况，右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案，节点k2不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的左子树X子树，所以属于左左情况。

LL

左旋代码分析  
/*-----------------------------------------------------------
|   node           right
|   / /    ==>     / /
|   a  right     node  y
|       / /       / /     
|       b  y     a   b    //左旋
-----------------------------------------------------------*/  
static rb_node_t* rb_rotate_left(rb_node_t* node, rb_node_t* root)  
{  
    rb_node_t* right = node->right;    //指定指针指向 right<--node->right  
   
    if ((node->right = right->left))    
    {  
        right->left->parent = node;  //好比上面的注释图，node成为b的父母  
    }  
    right->left = node;   //node成为right的左孩子  
   
    if ((right->parent = node->parent))  
    {  
        if (node == node->parent->right)  
        {  
            node->parent->right = right;  
        }  
        else  
        {  
            node->parent->left = right;  
        }  
    }  
    else  
    {  
        root = right;  
    }  
    node->parent = right;  //right成为node的父母  
    return root;  
}

RR

RR情况需要左旋解决，如下图所示：

右旋  
/*-----------------------------------------------------------
|       node            left
|       / /             / /
|    left  y   ==>    a    node
|   / /                    / /
|  a   b                  b   y  //右旋与左旋差不多，分析略过
-----------------------------------------------------------*/  
static rb_node_t* rb_rotate_right(rb_node_t* node, rb_node_t* root)  
{  
    rb_node_t* left = node->left;  
   
    if ((node->left = left->right))  
    {  
        left->right->parent = node;  
    }  
    left->right = node;  
   
    if ((left->parent = node->parent))  
    {  
        if (node == node->parent->right)  
        {  
            node->parent->right = left;  
        }  
        else  
        {  
            node->parent->left = left;  
        }  
    }  
    else  
    {  
        root = left;  
    }  
    node->parent = left;  
   
    return root;  
} 

双旋转

　　对于左右和右左这两种情况，单旋转不能使它达到一个平衡状态，要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案，同样的，这样两种情况也是对称的，只要解决了左右这种情况，右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案，节点k3不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的右子树k2子树，所以属于左右情况。

LR

 　　为使树恢复平衡，我们需要进行两步，第一步，把k1作为根，进行一次右右旋转，旋转之后就变成了左左情况，所以第二步再进行一次左左旋转，最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树树。

RL

RL情况需要右左旋解决（先B右旋转，后A左旋转），如下图所示：

例子：

例子：

例子：

AVL与RBT

AVL是严格平衡树，因此在增加或者删除节点的时候，根据不同情况，旋转的次数比红黑树要多；
红黑是弱平衡的，用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低；
所以简单说，搜索的次数远远大于插入和删除，那么选择AVL树，如果搜索，插入删除次数几乎差不多，应该选择RB树。

红黑树上每个结点内含五个域，color，key，left，right，p。如果相应的指针域没有，则设为NIL。
一般的，红黑树，满足以下性质，即只有满足以下全部性质的树，我们才称之为红黑树：
1）每个结点要么是红的，要么是黑的。
2）根结点是黑的。
3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。
4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。