概率密度估计简介

1、概率密度函数

在分类器设计过程中（尤其是贝叶斯分类器），需要在类的先验概率和类条件概率密度均已知的情况下，按照一定的决策规则确定判别函数和决策面。但是，在实际应用中，类条件概率密度通常是未知的。那么，当先验概率和类条件概率密度都未知或者其中之一未知的情况下，该如何来进行类别判断呢？其实，只要我们能收集到一定数量的样本，根据统计学的知识，可以从样本集来推断总体概率分布。这种估计方法，通常称之为概率密度估计。它是机器学习的基本问题之一，其目的是根据训练样本来确定x（随机变量总体）的概率分布。密度估计分为参数估计和非参数估计两种。

 

2、参数估计

参数估计：根据对问题的一般性认识，假设随机变量服从某种分布（例如，正态分布），分布函数的参数可以通过训练数据来估计。参数估计可以分为监督参数估计和非监督参数估计两种。参数估计当中最常用的两种方法是最大似然估计法和贝叶斯估计法。

 

监督参数估计：样本所属类别及条件总体概率密度的形式已知，表征概率密度的某些参数是未知的。

非监督参数估计：已知样本所属的类别，但未知总体概率密度函数的形式，要求推断出概率密度本身。

 

3、非参数估计

非参数估计：已知样本所属的类别，但未知总体概率密度函数的形式，要求我们直接推断概率密度函数本身。即，不用模型，只利用训练数据本身来对概率密度做估计。

非参数估计常用的有直方图法和核方法两种；其中，核方法又分为Pazen窗法和KN近领法两种。

在数学上一个连续概率密度函数p(x)的需满足以下的条件：

1、x在a和b之间的概率为:

2、对所有的x，p(x)非负

3、p(x)的积分值为1

最经常使用的概率密度函数就是高斯函数（正态分布）

将一维的情况扩展到多维，现在的x就是一个向量，p(x)也需要满足下列条件：

1、在一个区域R内x的概率为

2、概率密度函数的积分值为1

密度估计
给点n个数据样本x1,x2,....,xn,我们可以估计概率密度函数p(x),对于新的样本x就可以计算出相应的p(x).这个过程就是密度估计。

密度估计的基础是：一个向量x落入到区域R的概率为

假设R非常小，所以p(x)的变化也很小，上面的公式就改写为：

其中V是R的“体积”

 

另一方面，假设x1,...,xn是根据密度函数p(x)独立取的n个样本点，其中有k个样本点落入到区域R中，关于R的概率就为：

这样就可以得到一个p(x)的估计函数：

 

Parzen window密度估计

假设R是以x为中心的超立方体，h为这个超立方体的边长，在2-D的方形中有V=h*h，3-D的立方体中有V=h^3。

给定上面的公式，表示的是Xi是否落在方形中。

Parzen概率密度估计公式的表示如下：

其中被称作窗口函数(window function)。

同时可以对窗口函数做一定的泛化，就有其他的Parzen window密度估计方法。

例如在1-D的情况下使用Gaussian函数：

这种方法就相当于将n个点为中心的高斯函数计算平均。其中标准差需要预先设定。

 

例子：

给定五个点：x1=2, x2=2.5, x3=3, x4=1, x5=6, 计算x=3位置的Parzen概率密度函数，采用的高斯函数作为window function。

计算过程如下:

 
采用图形的方式进行显示，并假设上面的5个点对整个密度函数做出相等的贡献：

采用Parzen Window对这个五个点估计得到的概率密度函数为：