几道有趣的思维题

problem 1

从1~n里选出一些数乘起来构成完全平方数，求能得到的最大完全平方数，结果对1e9+7取模，n<=106

思路

如果从判断哪些能选这个角度来做这个题那么就会陷入死胡同，不妨看哪些不能选，把n!表示成小于等于n的质数的幂的乘积，然后对于幂为奇数的，需要去掉一些数让它的幂变成偶数，怎么去呢？去掉这个质数就ok。那么问题就是对于n!=pc11pc22...pctt统计每个ci的大小（奇偶）。

对于一个pi的每一个pki(1<=k<=c1)，求∑[1<=x<=n][gcd(x,pki)=pki]，而它等于npki−npk+1i，所以ci=∑k(npki−npk+1i)[pki<=n]，复杂度为O(nlogn∗logn)=O(n)。

problem 2

给n个数a1~an和L,R，随机选择一个区间[l,r](l<=r)，求区间中数的平均值在[L,R]之间的概率，n<=106

思路

实际上就是求区间平均值在[L,R]之间的个数。而[L<=x<=R]=[1<=x<=R]−[1<=x<=L−1]，求区间平均值小于等于某个数R的区间个数即可。把所有数都减去R，转化为求区间和小于等于0的区间个数。令sum0=0，sumi=∑ak[1<=k<=i]那么就是求满足sumj>=sumi，0<=j<i<=n的个数，而这个可以利用平衡树在O(nlogn)的时间内求出来。更好的办法是将所有的sum排序，然后用双指针快速统计，复杂度O(n)。

problem 3

有一张长度为n的纸条，从左至右编号为0~n，给出m个数，表示每次折叠的位置，求经过m次折叠后纸条的长度。n<=1018，m<=1000

思路

每折叠一次，对纸条重新编号，然后更新长度和后续未完成的折叠位置在新的编号规则下的编号。这样复杂度为O(m2)。