Matlab 概率分布

概述

区别

对于离散型随机变量 X
F(x)=P{X<=x}为其分布函数,自变量x
P{X=x}为离散型随机变量的概率分布,或者分布(规)律

对于连续型随机变量 X
F(x)=P{X<=x}为其分布函数 ,自变量x
单独考察P{X=x}的值是没有意义的,单点概率值可视为0
这时考察区间上的概率,引出概率密度函数 f(x),
f(t)在区间[-无穷,x]上的积分为F(x)
F(x)为f(t)的上限为x的变上限积分函数

 在数学中，一个连续型随机变量的“概率密度函数”是一个描述这个随机变量的输出值在某一个确定的取值点附近的可能性的函数。

联系

不难发现,离散型随机变量是连续型随机变量的一个特例

• 离散型取值个数有限 , min max确定,较为离散化
• 所以概率密度函数在x的领域内的积分值为单个点点概率分布

为了避免咬文嚼字造成的理解障碍

• 将离散型随机变量的概率分布泛化为概率密度

后文中,用概率密度指代离散型随机变量的概率分布(分布律)

离散型随机变量

二项分布 Binomial distribution

二项分布,又称n重伯努力试验
每次实验成功概率为p,失败概率为q=1-p
则在这n次独立实验中,成功x次的概率y为

matlab中使用binopdf函数,绘制代码

defects = 0:50;y = binopdf(defects,200,0.02);figure;plot(defects,y,'--bo');title('X~B(n=200,p=0.02)的伯努力分布的前50个点的概率分布');xlabel('试验成功次数x');ylabel('y=P\{X=x\}');

二项分布的期望E(X)=np
方差D(X)=npq

泊松分布

matlab中使用boisspdf函数,绘制代码

defects = 0:50;y1 = poisspdf(defects,2);y2 = poisspdf(defects,10);y3 = poisspdf(defects,30);figure;plot(defects,y1,'-g>',defects,y2,'--bo',defects,y3,':r');title('X~pi(lambda)的泊松分布');xlabel('离散变量X的取值x');ylabel('y=P\{X=x\}');hleg1=legend('lambda=2','lambda=10','lambda=30');

观察上面两张图,很容易发现二项分布和泊松分布十分类似,实际上,但n趋于正无穷时,可以用泊松分布来逼近

泊松定理

设随机变量X服从二项分布B(n,p)，当n→+∞时，X近似地服从泊松分布P(λ)
,其中λ=np
n→+∞,np=λ为常数,则p→0无穷小q→1;
所以泊松分布的数学期望E(X)=λ，方差D(X)=λ
【PS：只有当p的值很小，一般小于0.1时，用泊松分布取代二项分布所产生的误差才会比较小】

连续型随机变量

均匀分布

指数分布

注意,考研过程中,用lambda=1/mu作为指数函数的参数,lambda>0
matlab中使用exppdf函数,绘制代码

正态分布

matlab中使用normpdf函数,绘制代码