BSOJ 3022 又一类数字三角形--根据数据范围的优化+背包思想递推/搜索

Description

　　假设有N个数写成一行，这行上面一行有N -1个数，第i数是第一行第i个数和第i+1个数的和。依次类推，最上面一行为第N行，有一个数。例如，4个数2,1,2,4形成如下结构：

　　　　　　    15

　　　　　 　  6 9

　　　　　　3 3 6

　　　　　2 1 2 4

　　我们称这种结构为NumberPyramid。两个NumberPyramid相同当且仅当对应位置上的数相同。

　　给出两个整数baseLength和top。计算出有多少个不同的仅包含正整数的NumberPyramid，使得NumberPyramid的最高的数为top，第一行有baseLength个数。由于答案可能过大，只需要输出模1,000,000,009的余数即可。

Input

第一行两个整数baseLength，top。

Output

一个整数，题目所求答案。

Sample Input

【样例输入1】 3 5

【样例输入2】 5 16

Sample Output

【样例输出1】 2

【样例输出2】 1

Hint

【数据范围】

对于30%的数据，top<=20，baseLength<=5。

对于100%的数据，2<=baseLength<=1,000,000，1<=top<=1,000,000。

这道题特别厉害..

容易发现，这就是一个加权杨辉三角，底层每一个数对顶层答案的贡献为c[n][i]*a[i]，a[i]表示底层数字。

思路1：从top开始分割，用搜索来得到解的个数，加上适当的剪枝，可能拿得到30分。

思路2：考虑每个底层数字的贡献，我们发现这是一个n元的不定方程，每一项的系数为c[n][i]，方程右边=top。

我们主要着手优化思路2。

这个数据够吓人，baselen长达100W,但是仔细分析下非常容易发现，一旦baselen大于一定的数值，top会大到惊人，我们举最小的例子：底层全都为1，那么top为2^(n-1)，这样一来，一旦n>21，top的值就会超过100W,而题目数据给出的top范围恰恰是100W。

那么我们就可以把问题砍掉一大半：当n>21的时候，直接输出0，因为不存在这么大的top。

我们已经把原问题转化为了一个不超过21元的不定方程，当然这可不是一个数学问题（其实在系数已经确定的情况下可以直接暴力搜索了，但是top仍然高达100W，虽然说系数也不小，但枚举的量仍然庞大）。

进一步进行优化，其实没必要打到100W，前面都有提到，最小的top为(1<<(n-1))，所谓的更大无非是给杨辉三角加了一个系数，我们可以直接把top减去(1<<(n-1))，剩下的搜索也好，背包也罢，以杨辉三角为底数进行加倍枚举都能轻松通过所有数据。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define mod 1000000009
using namespace std;
inline int read()
{
        int bj=1;
        char ch=getchar();
        while(ch<'0'||ch>'9')
        {
                if(ch=='-')bj=-1;
                ch=getchar();
        }
        int ret=0;
        while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
        return ret*bj;
}
int n,top,c[105][105]={0};
int f[1000005]={0};
void C()
{
        for(int i=1;i<=100;i++)c[i][1]=c[i][i]=1;
        for(int i=3;i<=20;i++)
        {
                for(int j=2;j<i;j++)
                {
                        c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
                }
        }
}
int main()
{
        cin>>n>>top;
        if(n>21)
        {
                cout<<0;
                return 0;
        }
        C();
        f[0]=1;
        top-=(1<<(n-1));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
                for(int j=c[n][i];j<=top;j++)
                        f[j]=(f[j]+f[j-c[n][i]])%mod;
        }
        cout<<f[top];
return 0;
}

这里用的背包思想，注意一下j的枚举顺序，要正着枚举。

搜索应该没问题吧？估计不会有人去写的..

这个题的优化特别厉害，也不是说想不到，认真思考下肯定能够有所发现，倒是最后的背包思想值得学习。（搜索赛高！）