HDU 5950——Recursive sequence

• Recursive sequence

题意：给定起始的两个数a,b，求第n个数%mod

思路：
第一眼看出来是矩阵快速幂，不过当时没推出来（其实推了一半把自己给否定了）
正解是，根据二项式定理，对于f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+n^4可以转换为
f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+c(4,0)(n-1)^4+c(4,1)(n-1)^3+c(4,2)(n-1)^2+c(4,3)(n-1)+c(4,4) (#1)

那么，对于下一项:
f(n+1)=f(n)+2f(n-1)+c(4,0)(n)^4+c(4,1)(n)^3+c(4,2)(n)^2+c(4,3)(n)+c(4,4) (#2)

可以发现#2的f(n),f(n-1),n^4,n^3,n^2,n,1都可以通过#1构造出来，那么根据倍数关系构造相关的矩阵即可。

code:

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const ll mod = 2147493647ll;struct Matirx{    int r, c;    ll mat[10][10];};Matirx Mul(Matirx a, Matirx b){    Matirx ret;    ret.r = a.r;    ret.c = b.c;    for(int i = 0; i < ret.r; i++){        for(int j = 0; j < ret.c; j++){            ret.mat[i][j] = 0;            for(int k = 0; k < a.c; k++){                ret.mat[i][j] += a.mat[i][k]*b.mat[k][j];                ret.mat[i][j] %= mod;            }        }    }    return ret;}Matirx Quick_pow(Matirx a, ll n){    Matirx ret;    ret.r = ret.c = 7;    memset(ret.mat, 0, sizeof(ret.mat));    for(int i = 0; i < 7; i++) ret.mat[i][i] = 1;    while(n){        if(n&1) ret = Mul(ret, a);        a = Mul(a, a);        n >>= 1;    }    return ret;}void build(Matirx& t){    t.r = t.c = 7;    t.mat[0][0] = 1, t.mat[0][1] = 4, t.mat[0][2] = 6, t.mat[0][3] = 4, t.mat[0][4] = 1, t.mat[0][5] = 0, t.mat[0][6] = 0;//1    t.mat[1][0] = 0, t.mat[1][1] = 1, t.mat[1][2] = 3, t.mat[1][3] = 3, t.mat[1][4] = 1, t.mat[1][5] = 0, t.mat[1][6] = 0;//2    t.mat[2][0] = 0, t.mat[2][1] = 0, t.mat[2][2] = 1, t.mat[2][3] = 2, t.mat[2][4] = 1, t.mat[2][5] = 0, t.mat[2][6] = 0;//2    t.mat[3][0] = 0, t.mat[3][1] = 0, t.mat[3][2] = 0, t.mat[3][3] = 1, t.mat[3][4] = 1, t.mat[3][5] = 0, t.mat[3][6] = 0;//4    t.mat[4][0] = 0, t.mat[4][1] = 0, t.mat[4][2] = 0, t.mat[4][3] = 0, t.mat[4][4] = 1, t.mat[4][5] = 0, t.mat[4][6] = 0;//5    t.mat[5][0] = 0, t.mat[5][1] = 0, t.mat[5][2] = 0, t.mat[5][3] = 0, t.mat[5][4] = 0, t.mat[5][5] = 0, t.mat[5][6] = 1;//6    t.mat[6][0] = 1, t.mat[6][1] = 4, t.mat[6][2] = 6, t.mat[6][3] = 4, t.mat[6][4] = 1, t.mat[6][5] = 2, t.mat[6][6] = 1;//7}int main(){    int T;    scanf("%d", &T);    ll N, a, b;    while(T--){        scanf("%I64d%I64d%I64d", &N, &a, &b);        if(N == 1) printf("%I64d\n", a%mod);        else if(N == 2) printf("%I64d\n", b%mod);        else{            Matirx temp;            build(temp);            Matirx ret = Quick_pow(temp, N-2);            temp.r = 7;            temp.c = 1;            temp.mat[0][0] = 16,temp.mat[1][0] = 8,temp.mat[2][0] = 4,temp.mat[3][0] = 2,temp.mat[4][0] = 1,temp.mat[5][0] = a%mod, temp.mat[6][0] = b%mod;            ret = Mul(ret, temp);            printf("%I64d\n", ret.mat[6][0]);        }    }    return 0;}