hdu 5894 分位置（环上组合，16沈阳网络赛）

hdu5894

题目大意

一个大小为 n的环，选 m 个位置涂黑，要求相邻两个黑点之间至少间隔 k个白点，问方案数。

分析

1. 思路一(较复杂)

令f(n,m)表示n个座位排成一排，选m个，相邻间隔不小于k个方案数。
将这环上n个座位编号从1到n.
①从1开始选的第一个>k :方案数为f(n-k,m)
②从1开始选的第一<=k :方案数为f(n-2k-1,m-1)
剩下问题就转换成求f(n,m)了。我们可以考虑插点法来转化问题，对于m个涂黑的座位，在它们之间（包括两边）m+1个间隔插入n-m个空座位:
x1+x2+...+xm+1=n−m(x1>=0,x2>=k...xm>=k,xm+1>=0)
=>x1+x2+...+xm+1=n−m+2k(xi>=k)
我们还可以通过引入一个松弛变量y来使得xi>=1（因为这是我们熟悉的模型）y=(k-1)*(m+1);
x1+x2+...+xm+1=n−m+2k−y(xi>=1)
再用插板法，n-m+2k-y个球分成m+1堆每堆至少一个有多少种分法。这个答案就是Cmn−m+2k−y−1=Cmn+k−k∗m
得到

f(n,m)=Cmn−k∗m+k

=>f(n-k,m)=Cmn−k∗m
=>f(n-2k-1,m-1)=Cm−1n−k∗m−1

Ans=Cmn−k∗m+k∗Cm−1n−k∗m−1=n∗Cm−1n−k∗m−1m

然后用乘法逆元解决除法取模的问题。

1. 思路二

（引用别人的分析）首先确定第一个人的位置，第一个人可以从n个椅子中任选一个，然后剩余n-1个椅子。因为人的间隔至少k个椅子，所以从这些符合要求的间隔距离的椅子抽出k*m个，然后剩下的m-1个人就可以随便从剩下的椅子人选了。可以想象成每个人和k个座位绑在一起，一旦这个人有了座位，他后面自动添加这k个座位。
那么第一个人从n个座位中选择一个，并且抽走了k*m个，那么剩下n-1-k*m个座位，在这之中选m-1个作为给其余人座，总数为sum=n∗Cm−1n−k∗m−1，因为这里的人是无差别的。比如有3个人,假设他们坐的位置是(2,4,7),那么,(4,2,7),(7,2,4)是重复计算的，所有sum/m。

总结

第一种思路是不断的将问题转化为我们熟悉的问题，先是想办法把环拆成链，然后在链上将至少间隔k个的问题转化成至少间隔1的问题。
第二种思路可以看作是先将某一个人（就是分析里的第一个人）看作是独特的。由于有m个人，所以结果sum/m。

代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;const int mod=1000000007;LL qmod(LL x,int n)//快速幂取模{      LL ans=1;      for(;n;n>>=1)      {            if(n&1)ans=(ans*x)%mod;            x=x*x%mod;      }      return ans;}LL C(int n,int m)//组合数取模{      if(m>n)return 0;      LL ans=1;      for(int i=1;i<=m;i++)      {            ans=ans*((n-m+i)*qmod(i,mod-2)%mod)%mod;      }      return ans;}int main(){     int T;     LL n,m,k;     scanf("%d",&T);     LL ans;     while(T--)     {           ans=0;           scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);           if(m==1)printf("%lld\n",n);           else printf("%lld\n",(C(n-k*m-1,m-1)*n%mod)*qmod(m,mod-2)%mod);     }     return 0;}

扩展

关于组合取模和乘法逆元问题请参考：
欧几里得算法、扩展欧几里得、乘法逆元
组合取模问题与Lucas定理