用c语言实现的FFT

一、对FFT的介绍

1. FFT（Fast Fourier Transformation）,即为快速傅里叶变换，是离散傅里叶变换的快速算法，它是根据离散傅里叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅里叶变换的算法进行改进获得的。
2.FFT算法的基本原理
      FFT算法是把长序列的DFT逐次分解为较短序列的DFT。
      按照抽取方式的不同可分为DIT-FFT(按时间抽取)和DIF-FFT(按频率抽取)算法。按蝶形运算的构成不同可分为基2，基4，基8，以及任意因子的类型。

3.迭代关系

4、本次程序的基本过程

我们这次所研究的是数字信号处理中的FFT算法，我们这次所用的数字信号是复数类型的。

(1)所以首先，我们先定义了一个复数结构体，因为是进行复数的运算，我们又相继定义复数的加减乘运算的函数。
(2)紧接着，我们定义了进行FFT计算的fft()快速傅里叶变换函数initW()  初始化变换核函数即旋转因子的计算，change() 变址函数，output()输出傅里叶变换的结果的函数。
(3)定义主函数，并调用定义好的相关子函数，利用fft()中的蝶形运算以及change()函数来完成从时间域上选取的DIT-FFT。

二、FFT中码位倒置排序

1、码位倒置的实现方法：
        (1)简单的利用按位与、或循环实现
        (2)利用公式推导的迭代方法
2、为什么要进行码位倒置
  因为由于FFT的计算特性，如果按照正常顺序输入，而没有进行码位倒置的话，就会以乱序输出，就不便于我们后续对信号的相关性质进行研究了，所以DIT-FFT算法就是在进行FFT计算之前，进行分奇偶后的码位倒置运算，即二进制数的倒位。       

3、倒位序由奇偶分组造成，以N=8为例，说明如下：

三、蝶形运算

由

按照上述公式的规律进行逐级分解，直到2点DFT，如下是N=8时的蝶形算法分析图：

四、FFT算法中蝶形算法的基本思想分析

（1）我们知道N点FFT运算可以分成log2（N）级，每一级都有N/2个碟形，FFT的基本思想是用3层循环完成全部运算(N点FFT)。


（2）第一层循环：由于N=2^m需要m级计算,第一层循环对运算的级数进行控制。（stages）


（3）第二层循环：由于第L级有2^(L-1)个蝶形因子（乘数），第二层循环根据乘数进行控制，保证对于每一个蝶形因子第三层循环要执行一次，这样，第三层循环在第二层循环控制下，每一级要进行2^(L-1)次循环计算.(选择W)


（4）第三层循环：由于第L级共有N/2^L即2^（n-L）个群，并且同一级内不同群的乘数分布相同，当第二层循环确定某一乘数后，第三层循环要将本级中每个群中具有这一乘数的蝶形计算一次，即第三层循环每执行完一次要进行N/2^L个碟形计算。（执行不同group中具有相同W的蝶形运算）


（5）可以得出结论：在每一级中，第三层循环完成N/2^L个碟形计算；第二层循环使第三层循环进行 2^(L-1)次，因此，第二层循环完成时，共进行2^(L-1) *N/2^L=N/2个碟形计算。实质是：第二、第三层循环完成了第L级的计算。

五、用c语言实现的FFT算法如下：

<span style="font-size:18px;">#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#define N 1000/*定义复数类型*/typedef struct{double real;double img;}complex;complex x[N], *W; /*输入序列,变换核*/int size_x=0;      /*输入序列的大小，在本程序中仅限2的次幂*/double PI;         /*圆周率*/void fft();     /*快速傅里叶变换*/void initW();   /*初始化变换核*/void change(); /*变址*/void add(complex ,complex ,complex *); /*复数加法*/void mul(complex ,complex ,complex *); /*复数乘法*/void sub(complex ,complex ,complex *); /*复数减法*/void output();/*输出快速傅里叶变换的结果*/int main(){int i;                             /*输出结果*/system("cls");PI=atan(1)*4;printf("                                        输出DIT方法实现的FFT结果\n");printf("Please input the size of x:\n");//输入序列的大小scanf("%d",&size_x);printf("Please input the data in x[N]:\n");//输入序列的实部和虚部for(i=0;i<size_x;i++){printf("请输入第%d个序列：",i);scanf("%lf%lf",&x[i].real,&x[i].img);}printf("输出倒序后的序列\n");initW();//调用变换核fft();//调用快速傅里叶变换printf("输出FFT后的结果\n");output();//调用输出傅里叶变换结果函数return 0;}/*快速傅里叶变换*/void fft(){int i=0,j=0,k=0,l=0;complex up,down,product;change();  //调用变址函数for(i=0;i< log(size_x)/log(2) ;i++)        /*一级蝶形运算 stage */{   l=1<<i;for(j=0;j<size_x;j+= 2*l )     /*一组蝶形运算 group,每个group的蝶形因子乘数不同*/{            for(k=0;k<l;k++)        /*一个蝶形运算 每个group内的蝶形运算*/{       mul(x[j+k+l],W[size_x*k/2/l],&product);add(x[j+k],product,&up);sub(x[j+k],product,&down);x[j+k]=up;x[j+k+l]=down;}}}}/*初始化变换核，定义一个变换核，相当于旋转因子WAP*/void initW() {int i;W=(complex *)malloc(sizeof(complex) * size_x);  //生成变换核for(i=0;i<size_x;i++){W[i].real=cos(2*PI/size_x*i);   //用欧拉公式计算旋转因子W[i].img=-1*sin(2*PI/size_x*i);}}/*变址计算，将x(n)码位倒置*/void change()      {  complex temp;  unsigned short i=0,j=0,k=0;  double t;  for(i=0;i<size_x;i++)  {    k=i;j=0;    t=(log(size_x)/log(2));  while( (t--)>0 )    //利用按位与以及循环实现码位颠倒  {    j=j<<1;j|=(k & 1);k=k>>1;  }  if(j>i)    //将x(n)的码位互换  {temp=x[i];x[i]=x[j];x[j]=temp;  }  }  output();}/*输出傅里叶变换的结果*/void output(){int i;printf("The result are as follows：\n");for(i=0;i<size_x;i++){printf("%.4f",x[i].real);if(x[i].img>=0.0001)printf("+%.4fj\n",x[i].img);else if(fabs(x[i].img)<0.0001)printf("\n");else printf("%.4fj\n",x[i].img);}}void add(complex a,complex b,complex *c)  //复数加法的定义{c->real=a.real+b.real;c->img=a.img+b.img;}void mul(complex a,complex b,complex *c)  //复数乘法的定义{c->real=a.real*b.real - a.img*b.img;c->img=a.real*b.img + a.img*b.real;}void sub(complex a,complex b,complex *c)  //复数减法的定义{c->real=a.real-b.real;c->img=a.img-b.img;}</span>

六、FFT原理的理解和程序设计中遇到的相关问题及解决方法
1、遇到的相关问题：
(1)首先一开始不知道什么是FFT，以及FFT原理是什么
(2)不理解FFT中迭代关系的推导以及缘由
(3)不理解变址计算的原理
(4)对蝶形运算的推导与原理的理解不透彻
(5)编程过程中对变址计算即对按位与的变换形式的不理解
2、解决的方法：
(1)到图书馆借相关的书籍理解相关的原理和过程
(2)到百度收索相关的资料促进理解相应的原理过程
(3)向学长学姐请教或老师的指导
七、总结

从这次的考核中我学到了一些有关数字信号处理的相关知识，即快速傅里叶变换的原理，虽然并不是非常深入的去学习，但却深刻的领悟到了，弄懂最基本的原理是理解的关键，只有弄懂了最基本的原理并具备一定的编程语言基础，才能顺利完成一个项目。在这次的学习过程中，我对原理的理解是通过对大量书籍和上网查阅资料以及老师的指导才渐渐的理解的。所以我觉得做好一件事，需要有坚持不懈的努力和一点一滴的积累。