【NOIP2015】推销员

推(chuan)销员

分析

这里主要阐述一下我的分析思路。
看起来挺直观的。

最初的想法，我们枚举每一个最远点mxp的位置，然后对之前的a进行排序。
那么以mxp为最远点，选x个的最大疲劳值为：
2∗s[mxp]+a[mxp]+(之前的前x−1大的a值的和)
这样的复杂度为O(n2logn)，考试时就这样拿了个60pt。

但是，我们要尝试发现这道题的特性，来进行时间上的优化。
根据极大化思想，我们要尽可能排除不影响答案的(mxp,x)。
当x一定时，设i<j，i没有j优，这等价于：
2∗s[i]+a[i]+(i之前的前x−1大的a值的和)<2∗s[j]+a[j]+(j之前的前x−1大的a值的和)
记w[i]=2∗s[i]+a[i]
∴w[i]−w[j]<(j之前的前x−1大的a值的和)−(i之前的前x−1大的a值的和)
当x增大的时候，例如x变大到x+1，发现(j之前的前x大的a值的和)−(i之前的前x大的a值的和)的值一定是递增的，因为j之前的前x大的a值的和一定是j之前的前x−−1大的a值的和多一个数，i也一样，而i能选择到的j也能选择得到。
所以我们得到了决策单调性：对于x，i<j，i没有j优，那么随着x的增大，i仍然没有j优，所以对于x的询问的决策点会非严格单调递增。

接下来，很容易想到用单调队列什么的进行维护。
但怎么尝试都觉得不行……

这时候就一定要跳出来啦。
根据决策单调性这个重要的特点，考虑换一种思考的角度。

假如当前x−1这个询问我们决策点为cur，答案为res，现在要求x这个询问的决策点和答案。
我们有两种方法：
①在cur之前选择一个没有选择过的点i，Δ=a[i]
②在cur之后选择一个决策点，Δ=2∗s[i]+a[i]−2∗s[cur]
用两个堆实现即可。

有点意思。

代码

#include <cstdio>#include <cctype>#include <queue>using namespace std;#define rep(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)#define x first#define y second#define mp make_pairtypedef pair<int,int> PII;const int N=131072;int n;int s[N],a[N];int cur,vis[N];priority_queue<PII> qs,qb;int res;inline int rd(void){    int x=0,f=1; char c=getchar();    for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;    for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';    return x*f;}int main(void){//  freopen("a.in","r",stdin);//  freopen("a.out","w",stdout);    n=rd();    rep(i,1,n) s[i]=rd();    rep(i,1,n) a[i]=rd();    rep(i,1,n)        qb.push(mp(2*s[i]+a[i],i));    PII t1,t2; int e1,e2,cs;    rep(i,1,n)    {        while (!qs.empty())        {            t1=qs.top();            if (vis[t1.y])                qs.pop();            else break;        }        while (!qb.empty())        {            t2=qb.top();            if (t2.y<cur||vis[t2.y])                qb.pop();            else break;        }        e1=(!qs.empty());        e2=(!qb.empty());        if (!e1&&e2)            cs=2;        else if (e1&&!e2)            cs=1;        else if (e1&&e2)        {            t1=qs.top(),t2=qb.top();            if (t2.x-2*s[cur]>=t1.x)                cs=2;            else cs=1;        }        if (cs==1)        {            t1=qs.top(); qs.pop();            vis[t1.y]=1;            res+=t1.x;        }        else if (cs==2)        {            t2=qb.top(); qb.pop();            vis[t2.y]=1;            rep(j,cur+1,t2.y)                if (!vis[j])                    qs.push(mp(a[j],j));            res+=(t2.x-2*s[cur]);            cur=t2.y;        }        printf("%d\n",res);    }    return 0;}