TopCoder SRM 701 div1. 900 FibonacciStringSum - 矩阵乘法

来源：互联网发布：app软件用什么编程编辑：程序博客网时间：2024/09/21 06:17

　　初赛大原题！（雾
　　稍微推一推就可以得到要算的式子是
　　

\sum k (n + 1 - k k) k b (n - k) a

　　可以用二项式定理展开，得到
　　

\sum i (a i) n i (- 1) a - i \sum k (n + 1 - k k) k b + a - i

　　前面的求和指标是

O(a)的，很小，所以现在想办法算后面的东西。
　　注意到算

k次方和的时候是可以矩乘的，这个玩意同理。
　　设

S d (n) = \sum k (n - k k) k d

　　稍微把组合数拆一下然后变个型，尝试搞个递推式出来
　　

S d (n) = \sum k \geq 0 ((n - 1 - k k) + (n - 1 - k k - 1)) k d = S d (n - 1) + \sum k + 1 \geq 0 (n - 2 - k k) (k + 1) d = S d (n - 1) + \sum k (n - 2 - k k) \sum j (d j) k j = S d (n - 1) + \sum j (d j) S j (n - 2)

　　于是

Sd(n)这玩意就可以愉快地矩乘了。
　　设

F 1 \times 2 (d + 1) (n) = [S 0 (n), S 1 (n) . . . S d (n), S 0 (n + 1), S 1 (n + 1) . . . S d (n + 1)]

　　那么

F(n)到

F(n+1)的转移矩阵

A是很容易得到的。
　　我们原本要算的东西现在变成了

\sum i (a i) n i (- 1) a - i S b + a - i (n + 1)

　　注意到实际上一次矩乘就可以把

Sb...Sb+a给算出来，于是总复杂度为

O(a3logn)。
　　代码太丑就不贴了。

0 0