【玲珑杯 1047】【二分匹配 KM算法或者费用流】Best couple【定义男女生的距离为最短距离，求匹配之后使得总距离最大】

传送门：http://www.ifrog.cc/acm/problem/1055

思路：

跑一发floyd，然后再用km。

但是问题来了，这个有可能n != m。那怎么办？

其实可以补上一些不存在的点。来使得n = m。他们的权值就设置为0就好了。意思就是这些人的搭配，是对答案没有贡献的。注意不能设置为-inf。因为补上的那些点也是必须要选人的，只不过他们选了人，相当于没选而已（权值不存在。）如果设置为-inf的那些，那么他们就会把答案改了。


还有一个小trick的就是，一开始，我是把本来地图上的-1的那些点，更改为inf的，inf表示不连通，那么直接floyd就可以了不用特判那么多。那么问题又来了。如果跑了floyd后，还是不连通，那怎么办？他们的权值可是inf啊。组成新图的时候，同时也是需要把他们的权值设置为0的，也就是相当于没选。

或者直接跑费用流省去建虚点的麻烦

下面给出一些概念：

1.通俗地说，完全匹配只要一边的点都在匹配中就行。而完美匹配则是相当于要“双向的完全匹配”。

2.KM算法求的是完美匹配中权最大的一个，在本来图就达不到完美匹配，而只有若干完备匹配的情况下，KM不能求出完备匹配中权最大的一个。

3.如果本来图就达不到完美匹配，但仍要求出最大权匹配，那么该怎么办？

(1)建虚点虚边，只要把所有没有的边设成0就行了,然后跑KM算法

(2)用费用流来跑，这种情况用费用来跑相对来说代码少点，但是效率比KM稍慢

代码一：

（费用流 266ms）

#include <bits/stdc++.h>using  namespace  std;//最小费用最大流，求最大费用只需要取相反数结果即可。//点的总数为 N，点的编号 0~N const int maxn=205;const int maxm=100005;const int inf=0x3f3f3f3f;struct Edge{  int to,next,cap,flow,cost;}es[maxm];int head[maxn],tol;int p[maxn];//记录增广路径上 到达点i的边的编号 int d[maxn];//单位总费用bool vis[maxn];int N;//节点总个数int dp[maxn][maxn];int n, m;void init(int n){  N=n;  tol=0;  memset(head, -1, sizeof(head));}void addedge(int u,int v,int cap,int cost){  es[tol].to=v;  es[tol].cap=cap;  es[tol].cost=cost;  es[tol].flow=0;  es[tol].next=head[u];  head[u]=tol++;  es[tol].to=u;  es[tol].cap=0;  es[tol].cost=-cost;  es[tol].flow=0;  es[tol].next=head[v];  head[v]=tol++;}bool spfa(int s,int t){//寻找花销最少的路径   //跑一遍SPFA 找s——t的最少花销路径 且该路径上每一条边不能满流     //若存在 说明可以继续增广，反之不能    queue<int>q;  for(int i=0; i<=N; i++){    d[i]=inf;    vis[i]=false;    p[i]=-1;  }  d[s]=0;  vis[s]=true;  q.push(s);  while(!q.empty()){    int u=q.front();    q.pop();    vis[u]=false;    for(int i=head[u]; i!=-1; i=es[i].next){ //逆向枚举以u为起点的边      int v=es[i].to;      if(es[i].cap>es[i].flow && d[v]>d[u]+es[i].cost){//可以松弛 且 没有满流         d[v]=d[u]+es[i].cost;        p[v]=i;   //记录前驱边 的编号         if(!vis[v]){ vis[v]=true; q.push(v);}      }    }  }  return p[t]!=-1;//可达返回true}//返回的是最大流，cost存的是最小费用int MCMF(int s,int t,int &cost){  int flow = 0;cost = 0;  while(spfa(s,t)){//每次寻找花销最小的路径     int Min=inf;    //通过反向弧 在源点到汇点的最少花费路径 找最小增广流      for(int i=p[t]; i!=-1; i=p[es[i^1].to]){      if(Min>es[i].cap-es[i].flow)      Min=es[i].cap-es[i].flow;    }    //增广    for(int i=p[t]; i!=-1; i=p[es[i^1].to]){      es[i].flow+=Min;      es[i^1].flow-=Min;      cost+=es[i].cost*Min;//增广流的花销     }    flow+=Min;//总流量累加   }  return flow;}void floyd(){    for(int k=0; k<n+m; k++)        for(int i=0; i<n+m; i++)            for(int j=0; j<n+m; j++)                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);}int  main(){    int T;    scanf("%d", &T);    while(T--){        scanf("%d%d", &n, &m);        for(int i=0; i<n+m; i++)            for(int j=0; j<n+m; j++){                scanf("%d", &dp[i][j]);                if(dp[i][j] == -1)dp[i][j] = inf;            }        floyd();        init(n+m+2);        for(int i=0; i<n; i++)            addedge(n+m, i, 1, 0);//源点与男生之间建边        for(int i=n; i<n+m; i++)            addedge(i, n+m+1, 1, 0);//汇点与女生之间建边        for(int i=0; i<n; i++)            for(int j=n; j<n+m; j++)                if(dp[i][j] < inf)                    addedge(i, j, 1, -dp[i][j]);//男生与女生之间距离小于inf建边        int cost;        MCMF(n+m, n+m+1, cost);        printf("%d\n", -cost);    }      return 0;}

代码二：

（KM 126ms）

#include <bits/stdc++.h>using  namespace  std;#define mst(ss,b) memset(ss,b,sizeof(ss));/* KM算法* 复杂度O(nx*nx*ny)* 求最大权匹配* 若求最小权匹配，可将权值取相反数，结果取相反数* 点的编号从1开始*/const int N=105;const int inf=0x3f3f3f3f;int nx,ny;//两边的点数int g[N][N];//二分图描述int link[N],lx[N],ly[N];//y中各点匹配状态，x,y中的顶点标号int slack[N];bool visx[N],visy[N];int dp[2*N][2*N];int n, m;bool dfs(int x){  visx[x]=true;  for(int y=1; y<=ny; y++){    if(visy[y])continue;    int tmp=lx[x]+ly[y]-g[x][y];    if(tmp==0){      visy[y]=true;      if(link[y]==-1 || dfs(link[y])){        link[y]=x;        return true;      }    }    else if(slack[y]>tmp) slack[y]=tmp;  }  return false;}int KM(){  memset(link, -1, sizeof(link));  memset(ly, 0, sizeof(ly));  for(int i=1; i<=nx; i++){    lx[i]=-inf;    for(int j=1; j<=ny; j++)      if(g[i][j]>lx[i])        lx[i]=g[i][j];  }  for(int x=1; x<=nx; x++){    for(int i=1; i<=ny; i++) slack[i]=inf;    while(true){      memset(visx, false, sizeof(visx));      memset(visy, false, sizeof(visy));      if(dfs(x))break;      int d=inf;      for(int i=1; i<=ny; i++)        if(!visy[i] && d>slack[i])          d=slack[i];      for(int i=1; i<=nx; i++)        if(visx[i])          lx[i]-=d;      for(int i=1; i<=ny; i++){        if(visy[i])ly[i]+=d;        else slack[i]-=d;      }    }  }  int res=0;  for(int i=1; i<=ny; i++)  if(link[i]!=-1)    res+=g[link[i]][i];  return res;}void floyd(){    for(int k=0; k<n+m; k++)        for(int i=0; i<n+m; i++)            for(int j=0; j<n+m; j++)                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);}int  main(){    int T;    scanf("%d", &T);    while(T--){        mst(dp, 0);        scanf("%d%d", &n, &m);        for(int i=0; i<n+m; i++)            for(int j=0; j<n+m; j++){                scanf("%d", &dp[i][j]);                if(dp[i][j] == -1)dp[i][j] = inf;            }        floyd();        for(int i=1; i<=n; i++)                for(int j=1; j<=m; j++){                    g[i][j]=dp[i-1][n+j-1];                    if(g[i][j] >= inf)g[i][j]=0;                }        if(n < m){            for(int i=n+1; i<=m; i++)                for(int j=1; j<=m; j++)                    g[i][j]=0;        }        else if(n > m){            for(int i=1; i<=n; i++)                for(int j=m+1; j<=n; j++)                    g[i][j]=0;        }        nx = ny = max(n, m);              printf("%d\n", KM());    }      return 0;}