二维联合分布(X,Y)求(U,V)

二维联合分布(X,Y)求(U,V)

@(概率论)

问：从F(x,y)是否可以求得f(x,y)? 是不是只有相互独立时，由f(x,y)=fX(x)fY(y)得到。

其中,

fX(x)=F′X(x),而FX(x)=limy→∞F(x,y)

fY(y)=F′Y(y),而FY(y)=limx→∞F(x,y)

这次主要总结的是：已经知道(X,Y)的二维联合分布，如何求得:(U,V)的联合分布，其中U=g1(X,Y),V=g2(X,Y)

方法是：

F(u,v)=P(g1(X,Y)≤u,g2(X,Y)≤v)=∫∫g1(x,y)≤u,g2(x,y)≤vf(x,y)dxdy

看一道习题的解法。

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为：

f(x,y)={4xy,0,0<x<1,0<y<1,其他

求二维随机变量(X2,Y2)的概率密度。

分析：首先需要明确的是X,Y是否相互独立，如果不独立该怎么办？

计算fX(x),fY(y)

公式是：

fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy
fY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx

表示的是求x时，y要取遍所有的值。
求y时，x要取遍所有的值。

而当题中已经给了x,y的取值范围时，要特别注意取遍所有值的含义。如果还是死代公式，用的是无穷大来解，但忽视了对应的取值，将会出现错误。

我们看：

fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy=∫104xydy=2x

仔细想想为什么这样？其实过程是：

fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy=∫0−∞0dy+∫104xydy+∫+∞10dy=∫104xydy=2x

同理，

fY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx=∫0−∞0dx+∫104xydx+∫+∞10dx=∫104xydx=2y

很容易看出f(x,y)=fX(x)fY(y)
即：X,Y相互独立。

也因此可知X2,Y2相互独立。

则不妨令U=X2,V=Y2

f(u,v)=fU(u)fV(v)
F(u,v)=FU(u)FV(v)

到这里可以用两种方法解：

• 公式法
• 定义法

其中公式法我基本不用，导致看到别人用公式法写还莫名其妙，这里先总结定义法，以回答验证开始提的问题。

定义法

F(U,V)=P(U≤u,V≤v)=P(X2≤u,Y2≤v),0<u<1,0<v<1=P(0<X≤u√,0<Y≤v√)=∫u√0dx∫v√04xydy=uv,0<u<1,0<v<1

接着就可以求出边缘分布：

F(u,v)=FU(u)FV(v)=uv

→FU(u)=u,FV(v)=v

因此，fU(u)=1,fV(v)=1

注： 一般FX(x)=F(x,+∞),表示另一个变量取遍所有值，这个在这里如何应用没有看太明白。也即，如果直接代入F(u,+∞)求FU(u)=u⋅+∞显然是不正确的，正确的理解应该是，取遍v的所有值，那么也就意味着取v的最大值，即v→1,即：FU(u)=F(u,1)=u。
这是最准确的解释。

一般课本给出的是x>0,y>0这样，用

FX(x)=F(x,+∞)
FY(x)=F(+∞,y)

是因为x和y最大都能取到无穷大。
我们知道分布函数是累积的，所有，意思还是在于取的最大值。但是因为举的例子不是有限区间，所以导致问题不清。这里恰好是有限区间，特别记录说明。

这在上面求边缘密度函数时也用到过，即，特别注意取无穷大是什么意思，取遍所有取值对于有限区间的具体落实又是怎样的，特别需要小心，因为上下限是什么对结果取值至关重要。

从而：

f(u,v)={1,0,0<u<1,0<v<1其他

公式法

首先是看定理：

设随机变量X具有概率密度fX(x),−∞<x<∞,又设函数g(x)处处可导且g′(x)≠0,则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为：

fY(y)=⎧⎩⎨⎪⎪fX(h(y)|h′(y)|,0,α<y<β其他

其中，α=min(g(−∞),g(∞)), β=max(g(−∞),g(∞)), h(y)是g(x)的反函数。

用到这里来就是：

fU(u)=fX(h(u))|h′(u)|,0<u<1

其中h(u)是u=x2的反函数h(u)=u√。

因此：fU(u)=2u√⋅12u√=1,0<u<1

同理可得fV(v)=1,0<v<1
综合可得：

f(u,v)={1,0,0<u<1,0<v<1其他

两种方法可以互为映证。

公式法要求比较严格：单调，可导，导数不为0，反函数存在。