【NOIP模拟赛】求和式

求和式

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• Description

给定长度为n的序列A[i]，求所有A[i] xor A[j] ( i < j )的值之和（xor 表示异或符号，c++用^表示异或）

• Input Format

第一行一个整数N
接下来N行，第i行为A[i]（a[i] < =2^21)

• Output Format

所需计算的值

• Sample Input

3
7
3
5

• Sample Output

12

• Hint

【样例解释】
7 xor 3+3 xor 5+7 xor 5 = 4+6+2 = 12
【数据范围】
对于40%的数据，N<=5000
对于100%的数据，N<=1000000

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• 分析

以下来自出题人题解：
【Method 1】：
直接枚举i和j，统计答案
O(n^2)
【Method 2】：
用A[i]表示i出现了几次
然后枚举数对(i,j)，计算i xor j出现了几次(A[i]*A[j])，累加到答案中然后输出
O(Ai^2)
【Method 3】(Standard)：
我们知道xor操作对于每一位是独立的，因此可以对于每一位分别求解。
对于二进制的第i位，N个数里每个数是0或者是1，假设分别有Xi和(n-Xi)种
要让xor的值为1，就必须是一个0一个1的组合，这样的组合一共有Xi*(n-Xi)对
因此答案是Sigma(2^I*Xi*(n-Xi))
O(n*log Ai)

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#include <queue>#include <stack>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;long long ans[22],s[2][22],n,x;long long Ans;int main(){    freopen("1.in","r",stdin);    freopen("1.out","w",stdout);    scanf("%lld",&n);    for (int j=1;j<=n;j++){        scanf("%lld",&x);        for (int i=0;i<=21;i++){            ans[i]+=s[(x&(1<<i))==0][i];            s[(x&(1<<i))!=0][i]++;        }    }    for (int i=0;i<=21;i++) Ans+=ans[i]*(1<<i);    printf("%lld",Ans);    fclose(stdin); fclose(stdout);    return 0;}