S形加减速

来源：互联网发布：纵队知乎编辑：程序博客网时间：2024/04/29 01:26

S曲线加减速

加加速段
加加速度为 jmax，加速度线性增加至设定值或最大值amax。
匀加速段
加加速度为0，加速度恒定。
减加速段
当速度接近设定的值或最大值vmax时，加加速度突变为反向的jmax，进入加速度线性减小的变减速运动阶段。
匀速段
当速度增至vmax后，加加速和加速度均变为0，进入匀速运动阶段。
加减速段
加加速度突变为反向的jmax，加速度反向线性增加至−amax。
匀减速段
加加速度和为0，减加速度恒定。
减减速段
加速度突变为jmax，加速度由负向的amax线性减小至0。

加加速度、加速度、速度、位移随时间的变化函数：
tk(k=0,1,...7)：表示各个阶段的过渡点时刻；
τk(k=0,1,...7)：局部时间坐标，表示以各个阶段的起始点作为时间零点的时间表示，τk=tk−tk−1(k=1,...7);
Tk(k=1,...7)：各个阶段的持续运行时间。
$j (t) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ j m a x 0 - j m a x 0 - j m a x 0 j m a x 0 \leq t \leq t 1 t 1 \leq t \leq t 2 t 2 \leq t \leq t 3 t 3 \leq t \leq t 4 t 4 \leq t \leq t 5 t 5 \leq t \leq t 6 t 6 \leq t \leq t 7$
$a (t) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ j m a x τ 1 a m a x a m a x - j m a x τ 3 0 - j m a x τ 5 - a m a x - a m a x + j m a x τ 7 0 \leq t \leq t 1 t 1 \leq t \leq t 2 t 2 \leq t \leq t 3 t 3 \leq t \leq t 4 t 4 \leq t \leq t 5 t 5 \leq t \leq t 6 t 6 \leq t \leq t 7 t = t 1 时， a m a x = j m a x T 1$
$v (t) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v s + 1 2 j m a x τ 21 v 1 + a m a x τ 2 v 2 + a m a x τ 3 - 1 2 j m a x τ 23 v 3 v 4 - 1 2 j m a x τ 25 v 5 - a m a x τ 6 v 6 - a m a x τ 7 + 1 2 j m a x τ 27 0 \leq t \leq t 1 t 1 \leq t \leq t 2 t 2 \leq t \leq t 3 t 3 \leq t \leq t 4 t 4 \leq t \leq t 5 t 5 \leq t \leq t 6 t 6 \leq t \leq t 7 v 1 = v s + 1 2 j m a x T 21 v 2 = v 1 + a m a x T 2 v 3 = v 2 + 1 2 j m a x T 21 v 3 = v 4 v 5 = v 4 - 1 2 j m a x T 25 v 6 = v 5 - a m a x T 6 v 7 = v 6 - 1 2 j m a x T 25$
$S (t) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ v s τ 1 + 1 6 j m a x τ 31 S 1 + v 1 τ 2 + 1 2 j m a x T 1 τ 22 S 2 + v 2 τ 3 + 1 2 j m a x T 1 τ 23 - 1 6 j m a x τ 33 S 3 + v 3 τ 4 S 4 + v 4 τ 5 - 1 6 j m a x τ 35 S 5 + v 5 τ 6 - 1 2 j m a x T 5 τ 26 S 6 + v 6 τ 7 - 1 2 j m a x T 5 τ 27 + 1 6 j m a x τ 37 0 \leq t \leq t 1 t 1 \leq t \leq t 2 t 2 \leq t \leq t 3 t 3 \leq t \leq t 4 t 4 \leq t \leq t 5 t 5 \leq t \leq t 6 t 6 \leq t \leq t 7 t = t 1 时, S 1 = v s T 1 + 1 6 j m a x T 31 t = t 2 时, S 2 = S 1 + v 1 T 2 + 1 2 j m a x T 1 T 22 t = t 3 时, S 3 = S 2 + v 2 T 1 + 1 3 j m a x T 31 t = t 4 时, S 4 = S 3 + v 3 T 4 t = t 5 时, S 5 = S 4 + v 4 T 5 - 1 6 j m a x T 35 t = t 6 时, S 6 = S 5 + v 5 T 6 - 1 2 j m a x T 5 T 26 t = t 7 时, S 7 = S 6 + v 6 T 5 - 1 3 j m a x T 35$
几条关键中间计算公式推导
$T 1 = T 3 ， T 5 = T 7$
$T 2 = v m a x - v s a m a x - T 1$
$T 6 = v m a x - v e a m a x - T 5$
当系统可以达到最大加速度时，有T1=T3=T5=T7。若此时有vs=ve时，则 $⎧ ⎩ ⎨ T 2 = T 6 j m a x T 1 = j m a x T 5 = a m a x v 3 = v 4 = v m a x = v s + j m a x T 1 T 2 + j m a x T 21$
$v 7 = v s + j m a x T 1 (T 1 + T 2) - j m a x T 5 (T 5 + T 6) = v e$
加速区长度Sa=vs(2T1+T2)+12jmaxT1(2T21+3T1T2+T22)
减速区长度Sd=v3(2T5+T6)−12jmaxT5(2T25+3T5T6+T26）
规划路径的长度S7=Sa+vmaxT4+Sd
规划
系统的最大加加速度为J，进给速度为F，最大加速度为Amax,并且vs=ve。
1. 当系统刚好能够达到最大加速度Amax，且无匀加减速和匀速段
  
  T2=T6=T4=0
  T1=T3=T5=T7
  T1=AmaxJ
  vmax=v3=vs+jmaxT21
  系统的规划路径长度
  Sref=S7=2vsT1+jmaxT31+2v3T5−jmaxT35=2vsT1+2v3T5。
2. 当L<Sref,F>vmax，L的长度不足以系统增大至最大加速度Amax。加速区和减速区各为L的一半。
  
  Sa=JT31+2vsT1=L2，解方程得
  $a = L J - - \sqrt 4$
  $b = L 2 J 16 + 8 v 3 s 27 - - - - - - - - - - \sqrt$
  $T 1 = a + b - - - - \sqrt 3 + a - b - - - - \sqrt 3 J - - \sqrt$
  $v m a x = J T 21 + v s$
3. 当L<Sref,F<vmax，此时有匀速段。
  
  $T 1 = F - v s J - - - - - - \sqrt$
  $S a = J T 31 + 2 v s T 1$
  $T 4 = L - 2 S a F$
4. 当L>Sref,F<vmax，此种情形与上同。
5. 当L>Sref,F>vmax，L足够长以致amax有足够的时间来增大至Amax，并且vmax没有超过进给速度F，此时必定产生匀加减速段，假设vmax刚好增大至F。
  $T 5 = T 1 = A m a x J$
  $T 2 = F - v s A m a x - T 1$
  $T 6 = F - v e A m a x - T 5$
  $S' r e f = F + v s 2 (2 T 1 + T 2) + F + v e 2 (2 T 5 + T 6)$
  若L<S′ref，L不够长以致vmax无法增大至F，重新规划，匀加减速段减小。解方程组 $⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ T 5 = T 1 = A m a x J T 2 = v m a x - v s A m a x - T 1 T 6 = v m a x - v e A m a x - T 5 L = v m a x + v s 2 (2 T 1 + T 2) + v m a x + v e 2 (2 T 5 + T 6)$ ，带入化简得
  $2 J v 2 m a x + 2 A 2 m a x v m a x + A 2 m a x (v s + v e) - J (v 2 s + v 2 e) - 2 J A m a x L = 0$
  $v m a x = - A 2 m a x 2 J + A 4 m a x - 2 J [ A 2 m a x ( v s + v e ) - J ( v 2 s + v 2 e ) - 2 A m a x J L ] - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt 2 J$ 。
  解得vmax带入方程组求得T2,T6。
  若L>S′ref，L足够长以致vmax能够增大至F，并且产生匀速段，此时有完整的7段S形曲线。
  
  $T 4 = L - S ' r e f v m a x$ 。

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