矩阵的基本使用

矩阵

 

（数学术语）

 

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

定义

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

基本运算

矩阵运算在科学计算中非常重要，而矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。

加法

矩阵的加法满足下列运算律(A，B，C都是同型矩阵)：

应该注意的是只有同型矩阵之间才可以进行加法。

减法

数乘

矩阵的数乘满足以下运算律：

矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算。

转置

把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。

矩阵的转置满足以下运算律：

乘法

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵。

例如：

矩阵的乘法满足以下运算律：

结合律：

 

左分配律：

 

右分配律：

 

矩阵乘法不满足交换律。

行列式

一个n×n的正方矩阵A的行列式记为

 det(A) 

或者

 |A| 

,一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

一个n×n矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的余子式乘积之和，即：

对称矩阵

在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。

即。

例如：

  

三角矩阵

在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。

三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。

若

  

,则

  

的矩阵称为上三角矩阵，若

  

,则

  

的矩阵称为下三角矩阵。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。

对角矩阵

对于m×m的矩阵，当

  

时，有

  

，此时所有非对角线上的元素均为0，此时的矩阵称为对角矩阵。

分块矩阵

一个分块矩阵是将矩阵分割出较小的矩阵，这些较小的矩阵就称为子块。例如：

该矩阵可以分为四个2×2的矩阵：

分块后的矩阵可以写为如下形式：

逆矩阵

设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

定义

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得，并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

定理

验证两个矩阵互为逆矩阵

按照矩阵的乘法满足：

  

故A，B互为逆矩阵。

逆矩阵的唯一性

    若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。

    证明：若B,C都是A的逆矩阵，则有

所以B=C，即A的逆矩阵是唯一的。

判定简单的矩阵不可逆

如

  

。假设有

  

是A的逆矩阵，则有

比较其右下方一项：0≠1。

若矩阵A可逆，则 |A|≠0

若A可逆，即有A-1，使得AA-1=E，故|A|·|A-1|=|E|=1

则|A|≠0

计算

若|A|≠0，则矩阵A可逆，且

其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。

性质

可逆矩阵一定是方阵。

（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

求法

求逆矩阵的初等变换法

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵

  

对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A。

如求

  

的逆矩阵A-1。

故A可逆并且，由右一半可得逆矩阵A-1=

 

初等变换法计算原理

若n阶方阵A可逆，即A行等价I，即存在初等矩阵P1，P2,...,Pk使得

 

，在此式子两端同时右乘A-1得：

 

比较两式可知：对A和I施行完全相同的若干初等行变换，在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同时，这些初等行变换也将单位矩阵化为A-1。

如果矩阵A和B互逆，则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

伴随矩阵法

如果矩阵

可逆，则

 

注意：

 

中元素的排列特点是的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。要求得

  

即为求解的余因子矩阵的转置矩阵。

A的伴随矩阵为

  

，其中Aij=（-1）i+jMij称为aij的代数余子式。

伴随矩阵

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

步骤

A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；

（代数余子式定义：在一个n阶行列式A中,把

  

元

 

所在的第

 

行和第

 

列划去后，留下来的

 

阶行列式叫做

 

元

 

的余子式，记作

  

;即

 

，

 

叫做

  

元

  

的代数余子式）

注意：其中所求的

  

为一个数值，并非矩阵。

2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，

补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除 A的行列式D中 元素

  

对应的第

  

行和第 

 

列得到的新行列式D1代替，这样就不用转置了）

即： n阶方阵的伴随矩阵A*为

例如：A是一个2x2矩阵，

则由A可得 (I,j=1,2)为代数余子式

则A的伴随矩阵 A* 为

（余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）

注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。