复杂状态的动态规划

最优配对问题：


空间里有n个点P0,P1,…,Pn-1，你的任务是把它们配成n/2对（n是偶数），使得每个点恰好在一个点对中。
所有点对中两点的距离之和应尽量小。 




dp方程：


d[i][S] 点0~i 的最优匹配，S为状态集合。
d[i][S] = min(d[i][j],dist(i,j)+d[i-1][S-{i}-{j}]); 
集合 S 和 j 是否有交集 (S&(1<<j)) ; 
除去 i j 的集合怎么表示呢？ d[i-1][S^(1<<i)^(1<<j)];

for(int i=0; i<n; i++){for(int S=0; S<(1<<n); S++){d[i][S] = INF;for(int j=0; j<i; j++)d[i][S] = min(d[i][S],dist[i][j]+d[i-1][S^(1<<i)^(1<<j)]);}}

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i 一定是S中最大的元素，那么dp就可以减少一维
d(S) = min(|PiPj| + d(S-{i}-{j})) | i = max(S);

for(int S=0; S<(1<<n); S++){int i,j;d[S] = INF;for(int i=0; i<n; i++)if(S&(1<<i)) break;for(int j=i+1; j<n; j++)if(S&(1<<j)) d[S] = min(d[S],dist[i][j]+d[S^(1<<i)^(1<<j)]);}

注意，在上述的程序中求出的i是S中的最小元素，而不是最大元素，但这并不影响答案
另外， j的枚举只需从i+1开始-- 既然i是S中的最小元素，则说明其他元素都比i大
S的枚举顺序：如果S’ 是S的真子集，则一定有S‘<S,因此若以S递增的顺序计算，需要用到某个d值时，它一定已经计算出来了


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货郎担问题(TSP) N<=15 城市编号0~n-1


有n个城市，用1，2，…，n表示，城i,j之间的距离为L[i][j]，有一个货郎从一个城市出发到其他城市一次且仅一次，最后回到起点的路线，
怎样选择行走路线使总路程最短？


是NPC难题，，规模小可以用dp求解
首先可以注意到可以直接规定起点和终点为城市0，然后设d(i,S)表示当前在城市i，还需访问集合S中的城市各一次后回到城市0的最短长度
状态转移: d(i,S) = min{ d(j,S-{j}) + dist(i,j)|j∈S }


边界为: d{i，{}} = dist(0,i); 
最终答案: d(0,{1,2,3,....,n-1}); 
时间复杂度为O(n^2*2^n);




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图的色数：


图论有一个经典问题是这样的：给一个无向图G，把图中的结点染成尽量少的颜色，是的相邻结点颜色不同


设d(S)表示把结点集S染色，所需要颜色数的最小值，则d(S) = d(S-S’)+1, 其中S’是S的子集，并且内部没有边(即不存在S‘内的两个结点u和v使得u和v相邻)
换句话说，S’是一个"可以染成同一颜色" 的结点集


首先通过预处理保存每个结点集是否可以染成同一颜色(即“内部没有边”) , 则算法的主要时间取决于“高效的枚举一个集合S的所有子集

d[0] = 0;for(int S=1; S<(1<<n); S++){d[S] = INF;for(int s0=S; s0; s0=(s0-1)&S){if(no_edges_inside[s0])d[S] = min(d[S],d[S-s0]+1);}}

end~