bzoj3309

题意：
定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。求
∑ni=1∑mj=1f(gcd(i,j))
T<=10000
1<=n,m<=10^7
题解：
先大力化式子
枚举i，j的gcd
∑nd=1f(d)∑ndi=1∑mdj=1ϵ((i,j))
∑nd=1f(d)∑ndi=1∑mdj=1∑k|i,k|jμ(k)
∑nk=1μ(k)∑nkd=1f(d)∑ndki=1∑mdkj=1
枚举D=dk
∑nD=1nDmD∑d|Df(d)μ(Dd)
设g=f∗μ
∑nD=1nDmDg(D)
算出g后就可以分块解决。
觉得g不是一个积性函数，看了一眼题解(捂脸)“由μ和f性质可得”
那就大力推一下吧。。
设n=pk11pk22...pktt
k1>=k2>=…>=kt
我们只考虑非0的μ和对应的f
当多个ki值相等的情况，我们把它当作用最小那个i的情况
使f取值为k1，强制p1不选，贡献为
k1∑t−1i=0(−1)iCit−1
k1(1−1)t−1
似乎为0
注意如果对于kj，存在ki>kj，那kj永远不会作为f，因为ki-1>=kj
所以，kj能做f的情况为k1=k2=…=kj且k1到kj-1都被选了
类似，贡献为
(−1)j−1kj∑t−ji=0(−1)iCit−1
(−1)j−1kj(1−1)t−j
如果存在k1=k2=…=kj,kj>kj+1那强制p1到pj都选后，后面所有情况的f依然为k1-1，后面所有情况贡献为
(−1)j(k1−1)∑t−ki=0(−1)iCit−1
(−1)jkj(1−1)t−j
上面所有式子在j不等于t时都为0
唯一不为0的情况就是k1=k2=…=kt时的
(−1)t−1kt(1−1)t−t
以及全部p都被选后的
(−1)t(kt−1)
相加即为(−1)t+1
于是可以用线性筛求出g。
具体来说就是对于每个数n求出他的最小质因子p最多有k次方，记为a(n)
比较a(n)和a(npk)即可从g(npk)推出g(n)
这是一个递推的关系，用心感受一下就知道很对了。。