牛顿迭代法求根——C语言

牛顿迭代法求根的原理：

设r是

的根，选取

作为r的初始近似值，过点

做曲线

的切线L，L的方程为

，求出L与x轴交点的横坐标

，称x₁为r的一次近似值。过点

做曲线

的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标

，称

为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，

称为r的

次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程

线性化的一种近似方法。把

在点

的某邻域内展开成泰勒级数

，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即

，以此作为非线性方程

的近似方程，若

，则其解为

， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：

。

题目：用牛顿迭代法求根。方程为ax3+bx2+cx+d=0。系数a,b,c,d的值一次为1,2,3,4，由主函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输出。结果保留两位小数。

分析：该题目要求我们求1附近的一个实根，其实不管是在哪个数字附近，只要有while（fabs（x-x0）>=1e-5)这个条件就能够得到一个比较准确的近似值（如果不明白可以随便找几个数试一下，一定要按照牛顿迭代法的步骤来）。由分析得，我们一直是在求两点之间的距离，首先我们用到了xn这个点，通过数学关系，我们得到了xn+1这个点；然后我们又由xn+1这个点得到了一个更加接近于x*的点，接下来就是计算机枯燥的重复了，但是我们不能一直让它这么持续下去，所以我们加入了一个使循环结束的条件就是两点之间的距离无线下while（fabs（x-x0）>=1e-5)。分析得到，我们需要两个double型的存储空间。

#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){    double solut(double,double,double,double );//函数原型声明    double a,b,c,d;    scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);    printf("%.2f",solut(a,b,c,d));    return 0;}double solut(double a,double b,double c,double d){    double x=1,x0;    do    {        x0=x;        x=x0-(((a*x+b)*x+c)*x+d)/((3*a*x+2*b)*x+c);    }    while(fabs(x-x0)>=1e-5);//为点xn+1与xn之间的距离，当两点的距离无限接近于0时，就时我们所要求的根x*。如果取x*这个点为例，我们发现方程在该点的切线与x轴的交点为x*，此时x与x0之间的距离为零。    return x;}

这个题目用到迭代法，说实话我的脑子转的慢，我到现在还没有学好这个方法。

 

迭代法的类似题目：

1：迭代法求两个数的最大公约数（辗转相除法）

原理：设两数为a、b(a>b)，用a除以b，得a÷b=q......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除r2，……如此下去，直到能整除为止。当然a与b的大小并不需要在意，因为在第一次辗转相除后，二者的位置关系就发生了改变。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main(){    int a,b;    scanf("%d %d",&a,&b);    int maxgys(int a,int b);//函数原型声明    printf("%d",maxgys(a,b));    return 0;}int maxgys(int a,int b){    while(b!=0)    {        int r;        r=a%b;        a=b;        b=r;    }    return a;}

2:Fibonacci数列也可以用到迭代法

原理：斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。

  

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main(){    long n;    scanf("%ld",&n);    void fibonacci(long);    fibonacci(n);    return 0;}void fibonacci(long n){    long f1,f2,fn,i;    f1=1;    f2=2;    printf("%ld %ld ",f1,f2);    for(i=1;i<=n-2;i++)    {        fn=f1+f2;        f1=f2;        f2=fn;        printf("%ld",f2);        printf(" ");    }}