赠券收集者问题

1 定义

如果购买一袋小完能方便面，可以赠送一个卡片，一共有N中卡片，每种卡片出现概率一致（当然实际上商家肯定会把某种卡片出现概率调低），那么如果想收集全部卡片，需要购买多少袋方便面？（求期望值）
这个问题就称为赠券收集者问题。

2 解决

设f(i)表示收集i种卡片的期望值，那么f(n)即为所求

f(1)=1

假设我们已经收集了i种，那么要收集第i+1种时，除去已经有了的i种，剩下的卡片任何一个如果我们得到，总类数都增加了1，拿到新卡片的概率是(N-i)/N，所以

f(i+1)=f(i)+N/(N−i)

f(n)=1+N/(N−1)+N/(N−2)+…+N/1=N∗(ln(N)+o(1))≈N∗ln(N)

参考

[1] http://blog.csdn.net/zdw12242/article/details/8288056