证明牛顿法在极小点附近收敛

设二阶连续可微函数 f 的一个局部极小点为 x*，此处的一阶倒数我 g(x*)，二阶导数为 G(x*)，并且G(x*)非奇异。若牛顿法的初始点充分靠近 x*，求证：

证明：

因为 x* 为局部极小点，所以

g(x *)对与任一迭代点 x_k的一阶 泰勒展开公式为：

左乘  得：

即：

从而当 x_k 充分靠近 x* 时，点列 {x_k} 超线性收敛于 x*。 

（超线性收敛？）

等式右边大于0小于1为线性收敛，等于0 则是超线性收敛，超线性收敛意味着可能具有更高阶的收敛性。