扩展欧几里得定理

根据贝祖定理：如果a、b是正整数，那么存在两个整数s、t使等式gcd(a,b) = sa + tb成立。我们可以用扩展欧几里得定理来找到一组s和t。

如果我们找到了一组s和t使得x*a + y*b = gcd(a, b)， 那么这组s和t与下一组x1*b + y1*(a % b) = gcd(a, b)，这两组值有什么关系么？

我们知道： a % b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除），那么:
gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
= b*x1 + a*y1–(a/b)*b*y1
= a*y1 + b*(x1–a/b*y1)
所以我们得到 x = y1, y = x1 – a/b * y1;

考虑辗转相除法最后一步，找到最大公约数的时候，a = gcd, b = 0,这是有等式gcd = 1 * a + 0 * b成立，x = 1, y = 0；
所以我们有如下代码：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    int t, gcd;    if (!b)    {        x = 1;        y = 0;        return gcd;    }    gcd = exgcd(b, a%b, x, y);    t = x;    x = y;    y = t - a/b*y;    return gcd;}

我们有了一组解后，通解可以用公式
x = x0 + (b / gcd) * t
y = y0 - (a / gcd) * t