哈夫曼树的总结

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百科的定义：
  
给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。
根据以上可以知道，这个权值是起到了关键的作用，权值分布不同，构造出的最优二叉树也是不同的。带权路径长度就是指的所有叶节点的权值乘以路径长度的总和。当不考虑权值，或者说所有节点权值都一样的时候，我们任意构造二叉树，概率上来说其路径之和都是一样的。当权值不同，我们就考虑，让权值大的(也就是发生概率越大的)越靠近根节点，能够更快地被检测到，权值小的放地越远离根节点，因为它被访问的概率越小。举一个例子，比如有一个成绩单:如果不考虑第二行比例，那么我们构造一个二叉判定树就可以是：如果考虑第二行比例，即权值，二叉树就可以是：可以看到，因为70~79分段人数最多，80到89分段其次，所以可以以80为根节点，迅速判断是否在70~79或者80~89分段内，这样会依概率减少总的比较次数。可见，哈夫曼树可以提高效率。
接下来的问题是，如何构造哈夫曼树？
一般可以按下面步骤构建：1.将所有节点按权值大小从大到小进行排列，每个节点都可以当做一棵树，则组成了一个单节点森林。2.在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左，右子树，新树根节点的权值为其左右子树上节点的权值之和。为了使其为二叉查找树，应该令权值小的作为左儿子，权值大的作为右儿子。这里有种特殊情况，即新树的根的权值比较大，大于了其他节点的权值，那么我们取得两颗权值最小的树中可能就不含有这棵新生成的树。这对结果是没有影响的，最终会生成一棵完整的哈夫曼树。3.从森林中删除这两棵树，同时把新树加入到森林中。4.重复2，3步骤，直到最后森林中只剩一棵树即哈夫曼树。下面是构建哈夫曼树的图解过程：
哈夫曼编码
在对报文进行编码时，可以使每个字符都有固定长度、固定结构进行编码，然而这并不是最有效的编码方式。哈夫曼树可以用来对报文进行编码操作。如果能统计出来报文里每个字符出现的概率大小，那么如若使出现概率大的字符编码长度小一点，概率小的字符相对来说编码长度大一点，那么我们就达到了压缩报文，节约空间的目的。具体来说，哈夫曼编码的过程就是，先按字符的权值大小，构造一棵哈夫曼树，然后在树中，每个节点的左儿子路径表示为“0”，右路径表示为“1”，则从根节点到每个叶子节点的路径编码，即可表示为相应字符的哈夫曼编码。就拿上图例子来说：A，B，C，D对应的哈夫曼编码分别为：111，10，110，0。用图说明则为:
参考资料：
  
http://www.cnblogs.com/mcgrady/p/3329825.html  http://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7341289


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