数论中的归纳法——对指数归纳

定义符号：对于素数p，整数n和t

|整除，p|n表示p整除n

ǂ不整除，pǂn表示p不整除n

||恰整除，p^t||n表示p^t|n且p^(t+1)ǂn

例如，3^2||18,3^3||108

定理一：

对于正整数b，3ǂb，有3^2 || 10^b-1

证明：

根据二项式定理，10^b-1=(1+9)^b-1=9*b+9^2*C(b,2)+9^3*C(b,3)+......其中C(b,i)是组合数b选i

很明显每一项都是9的倍数，所以10^b-1是9的倍数。

很明显第一项不是27的倍数，后面所有的项都是27的倍数，所以10^b-1不是27的倍数

所以3^2 || 10^b-1

定理二：

对于非负整数a，t，如果3^(a+2) || t^(3^a)-1 那么3^(a+3) || t^(3^(a+1))-1

证明：

假设t^(3^a)=3^(a+2)*k+1，3ǂk

那么t^(3^(a+1))=(t^(3^a))^3=(3^(a+2)*k+1)^3

所以，t^(3^(a+1))-1=3^(a+2)*k*3+(3^(a+2)*k)^2*3+(3^(a+2)*k)^3

所以3^(a+3) || t^(3^(a+1))-1

定理三：对于正整数b，3ǂb，非负整数a，3^(a+2) || (10^b)^(3^a)-1

证明（数学归纳法）：

对于a=0，原式即为定理一，成立

若a=i的时候原式成立，对于a=i+1的时候，

在定理二中取t=10^b，那么a=i+1的时候原式也成立

所以，3^(a+2) || (10^b)^(3^a)-1恒成立

定理三的推论：假设3^a||k，n=111......111(k个1)，那么3^a||n

证明：假设k=3^a*b，3ǂb，那么根据定理三，3^(a+2) || (10^b)^(3^a)-1即3^(a+2) || 10^k-1

因为n=(10^k-1)/9，所以3^a||n

ACM中的应用： POJ - 3696 The Luckiest number（求阶）