courseras NN_for_ml系列（lecture 3）

线性神经元

感知器与线性神经元的区别

有点像感知器，但是二者有些不同。感知器的学习方法是不断的使权重w接近最佳权重，但是线性神经元是使输出的y更接近目标y.

对感知器的理解：
感知器收敛过程是每次权重改变时，使得新权重更加接近于每一个广义可行的权重集（ get closer to every “generously feasible” set of weights）。注意：是接近于所有的，而不是一个。
对于两个generously feasible weights，每一个都是最优解，但是这两个权重，w都要尽可能的接近。w最终的值就是这两个广义权重 的平均值。然而，即使我们可以确保两个generously feasible weights，每一个都是最优解，但是不能确保二者的平均是最优解，可能还是最差解。

所以，多层神经网络就不再用感知器的学习过程了。所以，证明多层神经网络的权重w在不断提高，我们也不用感知器的方法（即，更接近所有的 可行权重）。那怎么证明我们学到的算法真的提高了呢？我们用预测值y(output values)越来越接近于目标值y(target values) 来作为目标。 也就是 outputs get closer to the target outputs。平方误差测量∑(y−yi)2

神经网络最简单的就是线性神经元带有平方误差测量
(就是不知道视频里说的最简单，是指：线性神经元是 神经网络里最简单的，还是平方误差测量∑(y−yi)2是outputs get closer to the target outputs最简单的)

在线式

举例 来评价这种迭代方法
假设你每天中午在一家咖啡馆吃午餐。– Your diet consists of fish, chips, and ketchup 。假设某一天，点了3份fish，2份chips 和 1份ketchup。收费员每天只告诉你当天的消费，而不告诉你某一份菜的价格。现在，你可以在几天后，用这几天的来弄明白每份菜的价格。

解决的方法是：
先随机的猜每份菜的价格，然后不断调整他们，直道总价格越来越接近收费员说的总价格。

We will start with guesses for the weights and then adjust the
guesses slightly to give a better fit to the prices given by the cashier.

真实的价格：

一开始猜测的价格：

ϵ是学习率
那么残差为Residual error = 350

可以发现，用了这种方法后，最终预测的y值为70*2+100*5+80*3=880.更接近于target-output 850 . 但是，发现，一开始预测的portions of chips 为50，最接近自己的值，但是调整后变为100。所以，该方法
不能保证在每次w=(w1,w2,w3)的迭代过程当中，w1,w2,w3能够不断接近最优值，但是可以保证预测的y可以不断的接近目标值target-outputs

注意：上面的例子可以理解为在线学习online learning ，一次只取一个样本。下面求解delta rule Δwi的步骤，就不是在线学习了，就是普通的学习方法（填鸭式学习）。一次把所有的样本用来训练。

填鸭式

现在讨论如何得到上面的 delta rule Δwi

迭代器的一些问题

在线式学习delta-rule 与感知器的关系：

在线式delta-rule 的优点：

The error surface for a linear neuron

The error surface in extended weight space

我们让横坐标表示权重，纵坐标表示误差error，得到一个误差平面
那么对于使用平方误差的神经元，上面的误差图形就是一个碗状。
竖直切一刀，得到一个抛物线 ；水平切一刀，得到一个椭圆。如下图

Online versus batch learning

批量学习（填鸭式学习）的权值变化

在批量学习（填鸭式学习）中，每得到一次 Δw 是要计算出所有训练样本误差总和，再用这个所有误差样本总和对w求偏导得到的。那么w的改变是总的误差和的基础上面的，且沿着梯度的方向，这样速度最快，且运动方向是垂直于等高线的。

在线学习 的权值变化

对于在线学习，Δw的每一次变化，都只是针对一个样本的。
如上图，假设我们仅仅只有两个训练样本。由于都只是针对一个样本的，那么每一次的误差为E=12(t−y)2,则每一次误差的导数为ϵ∗x(t−y)。对于每一个样本，x和y都是确定的，仅仅是预测的t=wx，是w的函数。那么对于每一个确定的样本，误差的导数仅仅的w 的一维线性方程。即只要w针对这个样本最调整时，他在误差平面上面的运动方向都是朝着一个方向，（即，运动方向朝着一个方向代表的是 针对这一个样本的运动方向 的 垂直方向是一个定值）。对于两个样本也就有了上图中的两条直线了。
根据上面的讨论，可以得到对于两个样本的话，w的走向是一条z字形的直线。因为先对第一个样本进行调整，w的走向垂直一条直线A1，然后对第二个样本进行调整，w的走向垂直另一条直线A2,然后又对第一个样本进行调整，w的走向又垂直直线A1，以此类推下去。直到走到两条直线A1,A2的交点，这个交点就满足这两个样本。

Why learning can be slow

如果训练样本对应的直线几乎平行,那么上面图形的椭圆就会变得很狭窄。

那么梯度就会在我们不想移动的方向经常移动，在我们想移动的方向移动得很小，以至于很慢.
所以简单的梯度下降，即通过调整学习率

Learning the weights of a logistic output neuron

现在将上面讲解的线性神经元（y=wx）推广到非线性神经元(以logistic神经元为例，还有其他的非线性神经元，如tanh(x))

The backpropagation algorithm

问题引出：
* 如果你的神经网络没有隐藏层，那么你所学到的模型是很有限
* 人为的构造特征（比如，感知器）虽然强大，但是你不知道哪些特征是正确的。只能不断的尝试,实验，观测误差的变化 才能确定 好的 特征。

要求：

总共4种方法：
1. 随机调整一个参数 ： 一次调整一次参数
2. 平行的随机调整所有所有参数 ： 一次调整所有参数
3. 随机调整 隐藏层单元 的活性
4. 后向反馈算法

方法1

方法2，3

方法4 backpropagation

• 我们可以在同一时间所有隐藏层的误差梯度
• 一旦我们有了隐藏层的误差梯度，就可以求出隐藏层的权重wij的梯度

基本计算步骤为：

注意： 我们假定，j下标表示 输出层的单元， i下标表示 隐藏层的单元。

很显然，我们通过输出层的导数，得到了误差对隐藏单元的导数，和误差对权重的导数。
其实这很好理解。∂E∂yj 表示的是 输出单元yj的改变对误差E的影响大小；∂E∂yi 表示的是 隐藏层单元yi的改变对误差E的影响大小；∂E∂wij 表示的是 wij的改变对误差E的影响大小