HDU 3555 Bomb （数位DP）

Problem Description

The counter-terrorists found a time bomb in the dust. But this time the terrorists improve on the time bomb.

The number sequence of the time bomb counts from 1 to N. If the current number sequence includes the

sub-sequence “49”, the power of the blast would add one point.Now the counter-terrorist knows the number N.

They want to know the final points of the power. Can you help them?

Input

The first line of input consists of an integer T (1 <= T <= 10000), indicating the number of test cases.

For each test case, there will be an integer N (1 <= N <= 2^63-1) as the description.The input terminates by end of file marker.

Output

For each test case, output an integer indicating the final points of the power.

Sample Input

3150500

Sample Output

0115

题意

给定一个数n，求[1,n]中含有”49”的数的个数。

From 1 to 500, the numbers that include the sub-sequence "49" are "49","149","249","349","449","490","491","492","493","494","495","496","497","498","499",so the answer is 15.

思路

首先我们考虑一个数中有无”49”的几种情况。(假设*中不包含”49”)

1. ***49****2. *********3. 9********4. 49*******

其实1和4是一样的情况，对于3，我们只需要在最高位添加一个4便组成一个含有”49”的数字，而对于2，数字中不包含”49”。

状态转移

dp[i][0]代表长度为 i 并且不含有"49"的数字的个数；dp[i][1]代表长度为 i 并且不含有"49"且高位是9的数字的个数；dp[i][2]代表长度为 i 并且含有49的数字的个数。

数组 a[i] 从低位到高位存储 n 的每一位数字。

• dp[i][0] = dp[i-1][0] * a[i] - dp[i-1][1]; 表示长度为 i 的不含有49的数字的个数，它等于长度为 i - 1 的不含有49的数字的个数*当前位的数字，因为这个位置可以填0~a[i] - 1，然后再减去长度为 i - 1 的最高位是9的数字的个数，因为如果长度为 i - 1 的最高位是9的话，那么高一位就不能填4了，否则就组成了49。
• dp[i][1] = dp[i-1][0]; 表示长度为 i 的并且不含有49同时最高位是9的数字的个数，它等于长度为 i - 1 的不含有49的数字的个数，因为只要在它的高一位加上一个9就可以了。
• dp[i][2] = dp[i-1][2] * a[i] + dp[i-1][1]; 表示长度为 i 的含有49的数字的个数，它等于长度为 i - 1 满足条件的数字的个数*当前的数字，再加上长度为 i - 1 的不含有49并且最高位是9的数字的个数，因为这个时候，只要在高一位加上一个4就可以了，这样在最高的两位就组成了一个49。

然后我们可以从一个数的最高位开始枚举，首先要加上低一位满足条件数字的个数，如果当前位大于4，还要加上低一位最高位是9且不包含49的数字的个数，因为这种情况下只要我们把当前位设为4便可满足要求。

如果枚举位过程中已经遇到过49，则以后的枚举加上不含有49的数字个数，因为49已经出现过了，所以这样的组合依然满足题意。

AC代码：

#include <iostream>#include<cstdio>using namespace std;#include<algorithm>#include<string.h>typedef __int64 LL;LL dp[21][3];int a[21];void init() //预处理长度为i位dp[i][]的值{    dp[0][0]=1;    for(int i=1; i<21; i++)    {        dp[i][0]=dp[i-1][0]*10-dp[i-1][1];  //长度为 i 并且不含有49的数字的个数        dp[i][1]=dp[i-1][0];    //长度为 i 并且不含有49且高位是9的数字的个数        dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][1];  //长度为 i 并且含有49的数字的个数    }}void solve(LL n){    int len=0;    while(n)    //整数n分解每一位    {        a[++len]=n%10;        n/=10;    }    LL ans=0;    int last=0;    bool flag=false;    for(int i=len; i>0; i--)    //从最高位开始枚举    {        ans+=dp[i-1][2]*a[i];        if(flag)ans+=dp[i-1][0]*a[i];   //如果前面出现过49        if(!flag&&a[i]>4)ans+=dp[i-1][1];   //+[i-1]位数最高位为9并且不包含49的情况        if(last==4&&a[i]==9)    //如果出现了49            flag=true;        last=a[i];    }    printf("%I64d\n",ans);}int main(){    int T;    init();    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        LL n;        scanf("%I64d",&n);        solve(n+1); //n+1可以避免数字末尾是49的时候出错    }    return 0;}