快速幂取模（转载+自己理解）

快速幂取模详解

本人新手，在此谢谢本文引用的《快速幂取模算法》作者 夜せ︱深 万分感谢。

很详细的快速幂算法

快速幂取模，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

我们先从简单的例子入手：求abmodc=几

算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;  for(int i = 1;i<=b;i++) {  ans = ans * a; }  ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式

abmodc=(a modc)b modc
（大家可以想一下(a+b)modc=(amodc+bmodc)modc这个式子，它是成立的，下面用这个推出引理1）

这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：

引理1：
要证明的公式：

(ab)modc=[(a modc)∗(b modc)]modc

a modc=d   ⇒   a=tc+d
b modc=e   ⇒   b=tc+e

ab/spacemodc=(tc+d)(kc+e)modc
=(tkc2+(te+kd)c+de)modc
=demodc=[(amodc)∗(bmodc)]modc

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。

要证明的公式：

abmodc=(amodc)bmodc

证明：
abmodc=[a*a^(b-1)]modc
由引理可得：(amodc)(a^(b-1)modc)modc

之后递推……得(amodc)bmodc

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，于是不用思考的进行了改进：

算法2:

int ans = 1;  a = a % c; //加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++) {  ans = ans * a; }  ans = ans % c;  

聪明的读者应该可以想到，既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

算法3：

int ans = 1;  a = a % c; //加上这一句for(int i = 1;i<=b;i++) {  ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余}  ans = ans % c;  

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。
（当当当当，重点来了）

有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

int ans = 1; a = a % c; if(b%2==1)      ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a for(int i = 1;i<=b/2;i++) {  ans = (ans * k) % c; }  ans = ans % c;

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

(码字手酸了。。。）

算法5：快速幂算法

int ans = 1; a = a % c; while(b>0) {  if(b % 2 == 1)       ans = (ans * a) % c; b = b/2;  a = (a * a) % c;  } 

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

int PowerMod(int a, int b, int c) {  int ans = 1; a = a % c; while(b>0)  {  if(b % 2 = = 1)        ans = (ans * a) % c; b = b/2;  a = (a * a) % c;  } return ans; } 

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。以下内容仅供参考:
扩展：有关于快速幂的算法的推导，还可以从另一个角度来想。
（我发图片吧）

理解

我比较喜欢的一个模板

//快速幂int quickpower(int a, int b, int n){    int t1, t2;    t1 = 1;    t2 = a;    while (b)    {        if (b % 2 == 1)            t1 = t1*t2%n;        t2 = t2*t2%n;        b =b/ 2;    }    return t1;}int main(){    int a, b, n;    while (scanf("%d%d%d", &a, &b,&n) == 3)    {        printf("%d\n", quickpower(a, b,n));    }    return 0;}

快速幂用于求模，求模一样可以用找循环节；
快速幂可以搭配矩阵。（我将会写一个新的文章写这个）
对于(a/b)%c要用–逆元（以后再写-。-）