拓扑排序算法

拓扑排序算法

@(算法学习)

AOV网

说到拓扑排序首先需要看的一个概念是Activity On Vertex 网。关于AOE前面做过具体的探究。

http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53171808?locationNum=1&fps=1

关于如何寻找最大路径文中有具体的思考。

而既然活动可以在边上，就必然意味着，活动可以在结点上。

这样做有什么含义吗？

有。在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图就可以用于研究哪些活动必须先完成了。

比如常见的选课，有些课是需要先导课程的，如果没有学过，就没法选。课程量少时，当然可以一眼看穿，如果全校范围内，课程数很多，就需要借助计算机来帮忙了。

AOV中不允许出现回路。这个很容易理解，即，你选的课程先导课程不能是更难的课吧。只有学完了简单的先导课才能去学难一点的课程。能直接学更难的，再反过来修先导课吗？如果硬是说可以，我也不说啥了。。总而言之，我们认定了，AOV不许有回路。反之，拓扑排序也可以用于检测图中是否有环。

拓扑排序的思想

设G=(V,E)，是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列V1,V2,...,Vn称为一个拓扑序列。当且仅当满足以下条件：

• 从顶点Vi到Vj有一条路径，则在顶点序列中顶点Vi必须在顶点Vj之前。

这种讲法是为了更加容易编码，实际自己理解时，可以这样想，找到一个没有箭头指向自己的结点，去掉它以及与它相连的边；再找这样的没有箭头指向自己的结点，依次继续。如果最终所有的结点都能被去掉，则这个AOV可以用拓扑排序构造拓扑序列。这个有向图就没有环。

此外，拓扑排序不一定就是一个。

输出拓扑序列的量化为步骤就是：

• 从AOV网中选择一个没有前驱的顶点并输出；
• 从AOV网中删除该结点，并删除所有以该结点出发的的弧。有时候说是弧尾，在有向图中，弧尾是出发点，弧头是结尾。这是根据箭头所在的地方称之为头得来的。

结果分析：

• AOV中全部顶点被输出，则AOV网中不存在回路。
• AOV网中顶点未被全部输出，则AOV网中存在回路。

拓扑排序算法基于的数据结构

一般来说，拓扑排序中的图的存储结构用的是邻接表。

为什么？

因为拓扑排序时需要查找以某个顶点出发的弧，此外，还需要查找入度为0的结点。即，找没有箭头指向自己的结点。

为此，在顶点表中加入一个入度域即可满足全部要求。

如何查找没有前驱的顶点呢？
查找入度为0的顶点。这还不够优化，即，为了加快查找，可以用栈来存放。把度为0的顶点存放在栈中。

先写伪代码，具体实现很简单：

• 初始化栈S，计数变量cnt;
• 扫描顶点表，将入度为0的顶点压栈
• 当栈非空时循环：
  
  • 栈顶结点Vi出栈，输出Vj，并且cnt++;
  • 将顶点Vj的各个邻接点入度减1；
  • 将新的入度为0的顶点入栈

具体代码：

void TopSort(){    int top = -1, cnt = 0; // 顺序栈S并初始化，计数初始化，top指向栈顶元素    for(int i = 0; i <vertexNum; i++) // 扫描顶点表，找入度为0的点    {        if(adjList[i].in == 0)        {            S[++top] = i; // 先更新top指针        }         while(top != -1) // 栈非空        {            int j = S[top--]; // 取出栈顶并更新top            cout << adjList[j].vertex;            cnt++;            p = adjList[j].firstEdge;            while(p != NULL)// 找出顶点j的所有出边            {                k = p->adjvex;                adjList[k].in--; //所有与j相邻的结点入度减1                if(adjList[k].in == 0)                {                    S[++top] = k; //加入栈                }                p = p->next; // 邻接表下的next指向的是另一个兄弟            }        }    }    if(cnt < vertexNum) cout<< "有回路" << endl;}

所以可见时间复杂度是O(n+e)，n是边数，e是结点数。