最短路径——Floyd算法及优化（蓝桥杯试题集）

*对最短路径问题以及floyd算法、Dijkstra算法不是很理解的同学请移步前几篇博客~

题目链接：

http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T15

问题描述
给定一个n个顶点，m条边的有向图（其中某些边权可能为负，但保证没有负环）。请你计算从1号点到其他点的最短路（顶点从1到n编号）。
输入格式
第一行两个整数n, m。
接下来的m行，每行有三个整数u, v, l，表示u到v有一条长度为l的边。
输出格式
共n-1行，第i行表示1号点到i+1号点的最短路。
样例输入
3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2
样例输出
-1
-2
数据规模与约定
对于10%的数据，n = 2，m = 2。
对于30%的数据，n <= 5，m <= 10。
对于100%的数据，1 <= n <= 20000，1 <= m <= 200000，-10000 <= l <= 10000，保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。

解题思路：

我们看到，这是一个有负值的有向图最短路径问题，我们直到，含有负值的边我们是无法使用Dijkstra的，原因很简单，Dijkstra是采用贪心的思想

其目光比较短浅23333，Dijkstra是不会想到 如果A→B大于A→C 但是还存在一个点K，使A→B→K→C要小于AC这样的情况的

所以我们先采取全部枚举的floyd算法处理一下这道题

#include<stdio.h>#define INF 0xFFFFFFF int a[8010][8010];int fmin(int a,int b){return a<b?a:b;}int main(){int n,m,i,j,k;int u,v,l;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)i==j?a[i][j]=0:a[i][j]=INF;while(m--){scanf("%d%d%d",&u,&v,&l);a[u][v]=fmin(a[u][v],l);}for(k=1;k<=n;k++)         //存在一个k 使aik+akj路径小于aij         for(i=1;i<=n;i++)         for(j=1;j<=n;j++)                  a[i][j]=fmin(a[i][j],a[i][k]+a[k][j]);       for(i=2;i<=n;i++)     printf("%d\n",a[1][i]);    } return 0;}

显然是不行的啦=.=

然后我们可以尝试一些优化的方法:

我们把无效路径压缩一下：思路可以参考http://blog.csdn.net/sm9sun/article/details/53258503

#include<stdio.h>#define inf 0xFFFFFFFint dp[20011][1600][2]; //对于i点j条边所对应的点以及权值int count[20011];       //i点总共的边数int o[20011];           //optimumint fmin(int a,int b){return a<b?a:b;}           void sx(int k){        int i;for(i=0;i<count[k];i++)     {    if((o[dp[k][i][0]])>(o[k]+dp[k][i][1]))    {    o[dp[k][i][0]]=o[k]+dp[k][i][1];    sx(dp[k][i][0]);    }        }}int main(){int i,j,k,n,m;int s,e,l;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){for(i=1;i<=n;i++){count[i]=0;o[i]=inf;    }for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&s,&e,&l);dp[s][count[s]][0]=e;dp[s][count[s]][1]=l;count[s]++;    }    for(i=0;i<count[1];i++)    o[dp[1][i][0]]=fmin(o[dp[1][i][0]],dp[1][i][1]);    for(k=2;k<=n;k++)         //存在一个k 使aik+akj路径小于aij     sx(k);    for(i=2;i<=n;i++)    printf("%d\n",o[i]);}return 0;}

最后两个数据还是无法过~我们再优化一下输入

#include<stdio.h>#define inf 0xFFFFFFFint dp[20011][1600][2]; int count[20011];int o[20011];int fmin(int a,int b){return a<b?a:b;}           void sx(int k){        int i;for(i=0;i<count[k];i++)     {    if((o[dp[k][i][0]])>(o[k]+dp[k][i][1]))    {    o[dp[k][i][0]]=o[k]+dp[k][i][1];    sx(dp[k][i][0]);    }        }}void dr(){int s,e,l,j;scanf("%d%d%d",&s,&e,&l);for(j=0;j<count[s];j++){if(dp[s][j][0]==e){dp[s][j][1]=fmin(dp[s][j][1],l);return;    }}dp[s][count[s]][0]=e;dp[s][count[s]][1]=l;count[s]++;}int main(){int i,j,k,n,m;while(~scanf("%d%d",&n,&m)){for(i=1;i<=n;i++){count[i]=0;o[i]=inf;    }for(i=1;i<=m;i++)dr();    for(i=0;i<count[1];i++)    o[dp[1][i][0]]=fmin(o[dp[1][i][0]],dp[1][i][1]);    for(k=2;k<=n;k++)         //存在一个k 使aik+akj路径小于aij     sx(k);    for(i=2;i<=n;i++)    printf("%d\n",o[i]);}return 0;}

后面的数据的确有了提升，但是依然不满足最后的数据~

那么对于含有负权值的最短路径问题我们该如何处理呢？请看下一篇博客——SPFA算法