NYOJ860 又见01背包（01背包的另一种思路）

题目：

又见01背包

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难度：3

描述

    有n个重量和价值分别为wi 和 vi 的 物品，从这些物品中选择总重量不超过 W 

的物品，求所有挑选方案中物品价值总和的最大值。

　　1 <= n <=100

　　1 <= wi <= 10^7

　　1 <= vi <= 100

　　1 <= W <= 10^9

输入

多组测试数据。
每组测试数据第一行输入，n 和 W ，接下来有n行，每行输入两个数，代表第i个物品的wi 和 vi。

输出

满足题意的最大价值，每组测试数据占一行。

样例输入

4 52 31 23 42 2

样例输出

7

思路：

这道题很容易发现其实重量很大，达到10^9，但是价值很小啊，现在就来推一下这个所谓的“互换”是怎么来的(其实我觉得还不如从最原始的来，不叫做“互换”好理解点),最原始的那个式子

dp[i][j]表示当取 i个， 重量为 j的时候背包的最大价值，状态转移方程就是 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i])， 这个式子的意思想必大家都明白吧，前面的那个意思是不取当前这个，后面的这个是取上当前这个物品， 后来再经空间优化之后变成了dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]), 仔细观察会发现二维数组时，那两种状态都是i - 1,所以就可以去掉，但是得注意，循环遍历的时候要逆序，正序的话就成完全背包了， 忘了说这个dp[j]表示什么了，dp[j]就是 当取到重量为j的时候的最大价值。弄明白了这些。这时候就可以来看这个题了， 题目要求和普通的01背包一样，求能装的最大价值，普通方法就是直接找最大价值，现在要换种思维，找最小的重量， 因为同样价值，重量越小，那么最后能装的价值就可能越大，所以这个dp[i][j]就表示 当 取 i 个， 价值为j的时候的最小重量，状态转移方程为 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - value[i]] + weight[i]),和那个最初推的一样，不再罗嗦，空间优化之后状态转移方程为dp[j] = min(dp[j], dp[j - value[i]] + weight[i]),同样的意思，dp[j]表示 价值为j的时候的最小重量，到最后只要从最大价值往下遍历这个dp数组，只要找到dp[j] <=背包重量的时候就直接输出 j， 这时候j就是最大的。

代码：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <math.h>#include <algorithm>#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))using namespace std;int weight[200],value[200];int dp[10005];int main(){    int n,w;//w表示最大的重量    while(~scanf("%d %d",&n,&w))    {        int sum=0;        for(int i=0; i<n; i++)        {            scanf("%d %d",&weight[i],&value[i]);            sum+=value[i];//算出总价值        }        mem(dp,0x3f);//初始化数组非常大        dp[0]=0;        for(int i=0; i<n; i++)        {            for(int j=sum; j>=value[i]; j--)                dp[j]=min(dp[j],dp[j-value[i]]+weight[i]);//dp[j]表示价值为j时候的最小重量        }        for(int i=sum; i>=0; i--)        {            if(dp[i]<=w)//当当前的价值的最小重量小于等于题目需要的最大重量时，输出这时的价值i            {                printf("%d\n",i);                break;            }        }    }    return 0;}