错排公式-计数

问题

题目：[不容易系列之一]

思路

本质是计数的题目。拿到也是没有直接的思路。考虑DP的思路进行分析。分析第i个状态和之前状态的关系。

不妨先直观的理解：假如现在N-1个数错排，那么加入第N个数之后，将第i（1<=i<=N-1）个数字放到第N个位置上，然后把第N个数放到第i个位置上，则前N个数字依然保持错排的特性。这是一种情形，一共有(N-1)*F(N-1)种。其中F(N-1)表示前N-1个数错排的个数。

上面这种情形，如果交换第i个位置与第N个位置的数字，那么第N个位置放的是n，但是第i个位置放的不是i。因为是在前N-1个数本省错排的情形下进行的。但是，如果第i个位置放N，第N个位置放i。也是可以构成一种错排情形的。还是考虑前N-1个数字，我们让第i个位置存在N，第N个位置存在i。剩余的N-2个数错排，这样也是可以构成一种错排情形。这种情形一共有，(N-1)*F(N-2)种。

所以，N个元素的错排个数为：

F(N)=(N−1)∗(F(N−1)+F(N−2))(1)

当然，也有另外一种较为简洁的理解方式。
考虑N个数全部错排，设F(N)为N个位置的错排总数。在任意一种方案当中，

• 假设第N个位置装K
• 假设第K个位置装M

那么我们只需分成M是否等于N这两种情形即可：

• 如果M==N
  
  • 那么交换第N个位置和第K个位置，则这两个位置匹配。剩余的N-2个位置错排。此时，总共错排个数为(N-1)*F(N-2)
• 如果M!=N
  
  • 那么交换第N个位置和第K个位置的值，第K个位置的值正确。第N个位置的值是错误的。此时，总共错排个数为(N-1)*F(N-1)。
• 所以，N个位置的错排公式为(1)

代码

#include <iostream>#include <fstream>#include <cstring>//#define LOCAL#define N 20typedef long long ll;ll f[N + 5];int preprocess();int main( void ){#ifdef LOCAL    std::ifstream cin( "input.dat" );#endif    int n = 0;    preprocess();    while( cin >> n )    {        std::cout << f[n] << std::endl;    }    return 0;#ifdef LOCAL    cin.close();#endif}int preprocess( void ){    std::memset( f, 0, sizeof(f) );    f[1] = 0;    f[2] = 1;    for( int i = 3; i <= N; ++i )    {        f[i] = (i-1)*( f[i-1] + f[i-2] );    }    return 0;}